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第三章 向量空间 3.1 n维向量概念及其线性运算 3.1.1n维向量及其线性运算 即 矩阵 1. 维向量的定义 个有次序的数 组成的数组称为 维向量,这 个数称为该向量的分量,第 个数 称为第 个分量(或第 个坐标). 行向量 列向量 即 矩阵 列向量也可以写成 注意:用小写黑体字母 来表示向量,用带下标的白体字母 表示向量的分量。 思考, 与 是相同的向量吗? 行向量与列向量是有区别的,一个行向量与一个列向量即使对应的分量相等,也不能把它们等同起 来。另外由于向量定义为有序数组,那么向量与数组 中的数的次序有关,例如(1,2) (2,1) 2.n维零向量 3.负向量 4.向量的相等 5.向量的加法 已知 6.数与向量的乘运 已知 k为一个数,数乘 我们约定:对于任意实数k以及任意的维向量 ,都有 注意,以上都是对行向量的情形定义了向量的加法、减法和数乘运算,对列向量的情形完全类似的定义。 另外,向量的加法运算及数乘运算统称为向量的线性运算,这是向量最基本的运算。 向量运算的8条运算律:设 例1 设 例2 设 3.1.2 向量的线性组合 定义 (1) 是一组n维向量, 是一组实数,则称 (2)若一个n维向量 可以表示为 则称 是 的线性组合,或称 可用 线性表示(或线性表出)。仍称 为组合系数,或表出系数。 为 的一个线性组合。常数 为该线性组合的组合系数。 零向量可以用任意一组同维数的向量 线性表出吗? 例3 设 n维标准单位向量: 3.线性组合的矩阵表示法 为了充分利用矩阵来研究向量之间的关系,我们要引进线性组合的矩阵表示法. 例6 问 方程组的同解方程组为
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