专题一 第三讲分类与整合思想.doc

第三讲　分类与整合思想 1． 在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想．分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法． 2． 分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论． 3． 中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等． (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等． (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等． 总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论． 1． (2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增； 当a0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示； 当a0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示． 所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0. 即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件． 2． (2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点， 则cos θ＝. 当t0时，cos θ＝；当t0时，cos θ＝－. 因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－. 3． (2012·四川)函数y＝ax－(a0，且a≠1)的图象可能是(　　) 答案　D 解析　当a1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为01－1，排除A，B. 当0a1时，y＝ax－为减函数，且在y轴上的截距为1－0，故选D. 4． (2013·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)f(x)的解集为A.若?A，则实数a的取值范围是(　　) A. 　B. C.∪ 　D. 答案　A 解析　∵A，∴f(a)f(0)， ∴a(1＋a|a|)0，解得－1a0，可排除C. ∵ff， ∴－， ∴a－a. ∵－1a0，∴－， ∴－2－，∴2， ∴a0.排除B，D.应选A. 5． (2013·天津)设a＋b＝2，b0，则＋的最小值为________． 答案　 解析　当a0时，＋＝＋＝＋＝＋≥； 当a0时，＋＝＋＝＋＝－＋≥－＋1＝. 综上所述，＋的最小值是. 题型一　由数学概念、运算引起的分类讨论 例1　函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为(　　) A．1 B．1，－ C．－ D．1， 审题破题　由于f(x)为分段函数，故求f(a)时要分－1a0，a≥0两种情形讨论． 答案　B 解析　f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1. 当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，∴a＝1. 当－1a0时，f(a)＝sin(πa2)＝1， ∴πa2＝2kπ＋(k∈Z)． ∴a2＝2k＋(k∈Z)，k只取0，此时a2＝. ∵－1a0，∴a＝－. 反思归纳　(1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延． (2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解二元不等式涉及到两根的大小等． 变式训练1　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是(　　) A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或等比数列 D．以上都不对 答案　D 解析　∵Sn＝pn－1， ∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)， 当p≠1且p≠0时，{an