06第四章导热问题数值解法基础2010.ppt

* 第四章 导热问题数值解法基础 碰到一个问题 微分方程+边界条件+初始条件 对于几何形状、边界条件复杂的导热问题， 分析解法十分困难，很多时候根本就不可能。 解决办法 采用数值解法 * 数值求解的结果形式 解析求解的结果 一个表达物体的温度分布的 解析函数 t=f(x,?) 10 oC 100 oC t=10+90x x 1 m 0 数值求解结果 一系列表达物体的温度分布的数值 x 1 m 10 oC 100 oC 80 60 40 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 * （1）把空间（和时间）坐标中连续变化的物理量（如温度），用有限数目的离散点（节点）上的数值来近似表达； （2）节点上的物理量仍然遵守基本定律（傅里叶定律、能量守恒定律）的规范；针对离散化的每个单元节点，建立起离散的导热（温度）方程 （3）进行求解，得到我们需要的结果（每个节点的温度值） 数值求解的基本思想 数值求解的基本方法 有限差分法、有限元法、边界元法 区域与时间的离散化；建立节点差分方程；节点方程的求解 有限差分法的基本步骤 网格线 网格单元节点-网格线交点 内节点与边界节点 步长 均匀网格与非均匀网格 网格单元 (代表平均值） x y * 一、区域和时间的离散化（二维为例） 区域离散化 §1 建立离散方程的方法 i, j i-1 i i+1 j-1 j j+1 ?x ?x ?y ?y 边界节点 时间的离散化 * 二、节点方程的建立方法 泰勒(Taylor)级数展开法和多项式拟合法 在导热微分方程的基础上，利用有限差分近似代替微分的方法。偏重于从数学的角度进行推导，优点是便于对离散方程进行数学特性分析，缺点是变步长网格的离散方程形式复杂、导出过程的物理概念不清晰、不能保证差分方程具有守恒特性。 控制体热平衡法和控制容积积分法 利用傅里叶定律和能量守恒原理，对微元体进行分析，直接导出方程。优点是推导过程的物理概念清晰、离散方程系数具有一定物理意义、保证差分方程具有守恒特性。缺点是不便于对离散方程进行数学特性分析。 建立离散节点的温度应遵循方程的方法分为两大类 * 1 泰勒(Taylor)级数展开法 向后差分格式 (B) 一阶微分差分 向前差分格式 (A) 中心差分格式 (A-B) ?x ?x ti-1 ti ti+1 （A） （B） 同样，时间差分也可以有向前、向后的差分格式 * 二阶微分的差分（A+B) 泰勒级数展开法只适用于内节点，边界节点必须用热平衡法 一维稳态无内热源内节点的导热离散方程 ?x ?x ti-1 ti ti+1 （A） （B） 控制体热平衡法建立离散方程内节点、稳态、无内热源 L R T B P 微元体热平衡 傅里叶定律（差分表达） ?x ?y i j j+1 j-1 i+1 i-1 * 一、内节点离散方程 如果，Δx=Δy，则二维稳态无内热源导热问题的内节点的差分方程： §2 稳态导热问题的数值计算 OR 对每个内节点，都可以得到类似的差分方程。 * 二、边界节点离散方程的建立 必须针对边界节点所在的网格单元，利用热平衡方法予以导出. 例如， 图4-3 所示的边界节点 第一类边界条件：给定温度（很好处理） 第二、三类边界条件：给定 q 或者 h (ti,j - tf) i, j i, j-1 i, j+1 i-1, j 教材中 汇总表 4-1 注意点： 每个热流通道的面积 节点之间的间距 （最为复杂的情形在 6） 要求能导出来（高级） 一般情况下，差分方程组是线性代数方程组，而线性代数方程组是可以用直接解法和迭代法求解的。 直接解法：高斯消元法、列主元素消去法、矩阵求逆法 迭代法 ： 简单迭代、高斯－赛德尔迭代、超（欠）松弛迭代 三、节点离散方程的求解 将节点按顺序表示 * 方程组求解—简单迭代法 1) 合理选择（假设）各节点的初始温度， 将其作为第零次迭代的近似温度值，记为 ti(0) (i=1,2,…,n); 将 ti(0)代入上式的右端，得到第一次迭代的近似值 ti(1) ； 将 ti(1)再代入上式的右端，则得出第二次的近似值 ti(2) ； ...... 如此反复进行下去， ...... 5) 直至进行到K次，使相邻的两次近似解 ti(K+1) 和 ti(K) (i=1,2,…,n)之间的偏差小于预先设定的小量ε时，即：满足 max∣ Ti(K+1) － Ti(K) ∣≤ε 或 max∣(Ti(K+1) － Ti(K) )/ Ti(K) ∣≤ε 程序框图 参见图4-6