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07塑性极限分析修改剖析
位移: 由外力功与内力功相等,得出: 化简为: 即: 参数x由 确定,由此得出 ,代 入 表达式,则得: 破损机构(c): 根据图8-14(c)所示破损机构,用同样方法 可得: 破损机构(d): 相对转角: 位 移: 由外力功与内力功相等,得出: 整理成为: 由此可得: 参数x由 确定,由此得出x=0.825l,代 入上式,最后得: 与前面两种破损机构破坏载荷比较,显然 最小,且等于已求出的钢架极限载荷,所以: 或者写成: 分别为板中面的曲率和 扭曲率,则: (8-5) 当板进入塑性状态时,应力 沿板厚度分布的绝对值不变,而正负号在板中面两侧相反,这与极限状态时梁截面上的应力分布类似。对于厚度为2h的板,其弯矩和扭矩分别为: 由假设(4)略去 对屈服的影响,则 Mises 屈服条件与平面应力问题具有相同的形式: 满足上述条件时考虑式(c),则以内力表示的极 限条件为: (8-8) 满足上面屈服条件时,采用与式(c)类似的内力公式,则以内力表示的极限条件为: (8-7) 若以 和 表示板的主应力,则Tresca 屈服条件为: 式(8-7)和(8-8)中 的对于2h 厚的板,则为: (d) 在矩形板的塑性分析中,作为一般问题求解时,应满足平衡条件、几何条件和极限条件。除此之外,为了表示塑性区的应力分量与应变分量之间的关系,可采用全量理论的表达式,即: (e) 当考虑到体积不可压缩时,有 ;若不计 板Z向挤压应力,取 则: 由式(c)可得: 将上列各式及(8-5)代入式(e)的第一式,得: 如令 ,则上式化为: (8-9a) 类似有 (8-9b) 是个不确定值,亦即对于理想弹塑性材料的板,不能由应力状态唯一地确定其变形。 将式(8.9)考虑在内,求解的基本方程式共有八个,即平衡方程(8.6),几何方程(8.5),极限条件(8.7)或(8.8),弯矩与曲率的关系(8.9)。未知函数有 共计八个。但是在求解中,由于极限条件的非线性(Mises条件)或者需要事先确定内力的主值(Tresca条件),求其问题的完全解是比较困难的。 因此,只能利用极限分析定理,求得极限载荷的界限。在大多数情况下,求其下限解的极限载荷也有一定困难,一般是利用机动法求其上限解的极限载荷。 8.5.2 简支方形薄板的极限载荷 四边简支的正方形板,边长为 ,承受均布载荷的作用,如下图所示,现用静力法和机动法求其极限载荷。 (1)静力法 利用静力法求下限解的极限载荷时,可采用半 逆解法.即先假设板的一部分内力,并由平衡 方程及边界条件求出另外一部分内力,将全部 内力代入极限条件,由此可以确定出下限解的 极限载荷. 对于简支正方形板,假设在极限状态时的内力为: 上式满足简支的边界条件: 和 将上式代入平衡方程(8-6),则得: 为满足上式,可取 ,则所有内力 满足平衡方程和边界条件。 将内力代人Mises极限条件,则式(8—7)左侧为: 上式的数值不能超过 ,可以证明其最大值 可能发生在(0,0)、(0, )、( ,0)、 ( , )处,亦即在板的中点、板的四边中点 以及板的四个角点处,共计有九个点。将点的坐 标值代入极限条件,得出: P l A D C 1.5P l 1.5l l P l 1.5l B (Ms ) (Ms ) (1.5Ms ) (2)两跨破坏 P l A D C 1.5P l 1.5l l P l 1.5l B (Ms ) (Ms ) (1.5Ms ) (3)整体破坏 讨论: 一般情况下,梁的超静定次数为 n 时,使梁形成破坏机构需n+1个塑性铰,即规定n+1个截面的弯矩达到塑性极限弯矩,此时梁的内力和塑性极限载荷都可确定,并形成整体破坏机构。 如梁的塑性铰数目少于n+1个,但足以使部分结构成为机构,该机构称为局部破坏机构。 在局部破坏机构中,塑性极限载荷和变成机构的部分内力可唯一确定,若在刚性区能找到一个静力允许的内力场,则得到的上限解为完全解。 P l A D C 1.5P l 1.5l l P l 1.5l B (Ms ) (Ms ) (1.5Ms ) 1.5Ms Ms Ms 例题8.1 如图8-3所式两端
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