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第三章 变化率与导数 §1 变化的快慢与变化率 银杏树高:15米 树龄:1 000年 雨后春笋高:15厘米 时间:两天 世界上变化无处不在，如何刻画事物变化的快慢呢？ ﹤ 探究点1 平均变化率定义 问题（1） 物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数,表示为s=s(t).在运动的过程中测得了一些数据，如表： t(s) 0 2 5 10 13 15 … s(m) 0 6 9 20 32 44 … 物体在0～2s和10～13s这两段时间内，哪一段时间运动得更快？如何刻画物体运动的快慢？ 分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢. 在0～2s这段时间内，物体的平均速度为 在10～13s这段时间内，物体的平均速度为 显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快. 问题（2） 某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示： 比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ y/(oC) x/min 0 10 20 30 40 50 60 70 36 37 38 39 分析：根据图像可以看出： 当时间x从0 min到20 min时，体温y从39 oC变为 38.5 oC，下降了0.5 oC； 当时间x从20 min到30 min时，体温y从38.5 oC变为 38 oC，下降了0.5 oC. 两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段 短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快. 我们也可以比较这两段时间中，单位时间内体温的平 均变化量，于是当时间x从0 min变到20 min时，体温y 相对于时间x的平均变化率为 当时间x从20 min变到30 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为 这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降得越快，这里，体温从20 min到30 min这段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快. 分析 上面的第一个问题中，我们用一段时间内物体的平均 速度刻画了物体运动的快慢，当时间从t0变为t1时， 物体所走的路程从s(t0)变为s(t1)，这段时间内物体 的平均速度是 第二个问题中，我们用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢，当时间从x0变为x1时，体温从y(x0)变为y(x1)，体温的平均变化率 你能类比归纳出“函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率”的一般性定义吗？ 抽象概括： 1 .平均变化率的定义: 对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从 变为 时，函数值从f（ ）变为 ，它的平均变化率为 通常把自变量 - 称作自变量的改变量，记作 ，函数值的变化 称作函数值的改变量，记作 ，则有如下表示： x y B(x2,f(x2)) A(x1,f(x1)) O f(x2)-f(x1) =△y x2-x1 =△x 2.平均变化率的几何意义： 几何意义是曲线 上经过Ａ，Ｂ两点的直线的斜率. 斜率的概念 思考2.函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率如何计算？ 提示:设x在x0附近的变化量为Δx，则平均变化率 思考：如何精确地刻画物体在某一瞬间的变化率呢？ 探究点2 瞬时速度、瞬时变化率 例1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为 其中，g为重力加速度 试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度. ， 分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式 可以求出从5 s到6 s这段时间内小球的平均速度 我们有时用它来近似表示t=5 s时的瞬时速度.为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1 s这段时间内的平均速度 （m/s）. （m/s） 用它来近似表示t=5s时的瞬时速度. 解：我们将时间间隔每次缩短为前面的 ，计算出相 应的平均速度得到下表： 平均速度 t0/s t1/s 时间的改变量（Δt）/s 路程的改变量（Δs ）/m /（m/s） 5 5.1 0.1 4.95 49.5 5 5.01 0.01 0.49 49.049 5 5.001 0.001 0.049 49.004 9 5 5.000 1 0.000 1 0.004 9 49.000 49 5 … … … … 可以看出，当时间t1趋于t0=5 s时，平均速度趋于 49 m/s，因此，可以认为小球在t0=5 s时的瞬时速度 为49 m/s.从上面的分析和计算可以看出，瞬时速