10.1对弧长的曲线积分.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 积分学 定积分二重积分 积分域 区 间 平面域 曲线积分 曲线弧 曲面 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分 第十章 山东交通学院高等数学教研室 10.1 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在 xoy 面上对应 弧段为AB , 其线密度为连续函数 “分割, 作近似, 求和, 取极限”方法. 求此构件的质量. 1 引例: 仍可采用 A B 曲线形构件的质量 是常数, 且弧长为 s, 则其质量为 不是常数, 设 L是xoy 面内的一条光滑曲线弧, 在L上有界. 总存在, 曲线积分, 任意插入一列点 2 定义 如果 则称此极限为函数 在曲线 L 上 (或第一类曲线积分). 把 L 分成n段: 对弧长的 函数 任取点 记作 积分弧段 弧长元素 线密度为 的曲线形构件的质量 线密度 (1)若 L 是闭曲线 , 则记为 存在. 注： (2) L光滑， 连续 (3) 若 是空间光滑曲线弧， 类似可定义函数 在 上的曲线积分: 3 性质 (? 为常数) 若 则 例如, 二、对弧长的曲线积分的计算 基本思路: 计算定积分 转 化 (1)若L: 求曲线积分 P 123 注: (2) 若L: (3) 若L: (4) 若 P 123 例1 计算 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 例2 计算曲线积分 其中L: 法1： L 的参数方程： ． 法2: L 的极坐标方程: L: 2 法2: L: ． 练习 计算 其中L 由 所围成的 区域的整个边界. O x y 补充: 设在 xoy 面上有一分布着质量的曲线弧 L, 其线密度为 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 曲线弧对 x 轴, y 轴的转动惯量 (2) 曲线弧的质心坐标 解: (1) 薄片关于x, y 轴的转动惯量为 (2) 薄片的质心坐标为 推广: 设空间有一分布着质量的曲线弧 , 其线密度为 曲线弧的质心坐标 则 曲线弧 对 x 轴, y 轴, z 轴的转动惯量 例3 计算半径为 R ,中心角为 对于它的对 称轴的转动惯量 I (设线密度? = 1). 解: 则 建立如图的坐标系, 的圆弧 L t 思考: 求圆弧 L 的质心坐标? 例4 计算曲线积分 其中? 为螺旋 的一段弧. 解: 线 例5 计算 其中? 为球面 解: 化为参数方程 法2 练习 计算 其中? 为球面 解: 则 例7 计算 其中? 为球面 被平面 所截的圆周. 解: 则 轮换对称性 * * * *