11.3条件极值拉格朗日乘数法.ppt

令 则 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 2 空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 切平面上点的竖坐标的增量 因为曲面在M处的切平面方程为 其中 解 切平面方程为 法线方程为 解 令 切平面方程 法线方程 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程 1 空间曲线的切线与法平面 2 曲面的切平面与法线 * * * * * * * * * * * * * * * * * * 实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U(x, y) = lnx+lny ．设每张磁 盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果． 问题的实质：求 在条件 下的极值点． 条件极值：对自变量有附加条件的极值． 求解方程组 解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标. 解 则 例1 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 求函数 的最大值. 令 下， 则 令 即 由(2), (1)及(3), (2)得 由(2), (1)及(3), (2)得 于是， 代入条件，得 解得 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知， 所以， 最大值就在此点处取得。 故，最大值 最大值一定存在， 解 则 由 (1)，(2) 得 由 (1)，(3) 得 将 (5)，(6) 代入 (4)： 于是，得 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，最大值一定存在， 所以， 最大值就在这个可能的极值点处取得。 故，最大值 解 则 解 可得 即 多元函数的极值 拉格朗日乘数法 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 11.4 微分法在几何上的应用 一 问题的提出 二 空间曲线的切线与法平面 (Applications of differential calculus in geometry) 一 问题的提出 我们可以利用偏导数来确定空间曲线的 切向量和空间曲面的法向量 推导过程 二 空间曲线的切线与法平面 1 空间曲线 切向量： 切线方程： 法平面方程： (Tangent and normal plane of space curve) 解： 在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1 切线方程： 法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0 即： x + 2 y + 3 z = 6 例1 求曲线 在点 处的切线及法平面方程。 2 切线方程： 法平面方程： 切线方程： 法平面方程： 例2、求曲线 在点（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。 法平面方程： x - z = 0 切线方程： 1 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通过点M的曲线 (Tangent plane and normal line of surface) * * * * * * * * * * * * * * * * * *