121.2单位圆中的三角函数线.ppt

* * 1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角α的三角函数是怎样定义的？ 2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3.公式 ， ， ( ).其数学意义如何？ 终边相同的角的同名三角函数值相等. 4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一. 复习引入 正弦线和余弦线 问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？ P（x，y） O x y M 问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？ P（x，y） O x y M 正弦线和余弦线 为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，我们规定线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？ P（x，y） O x y M P（x，y） O x y M 思考：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？ P O x y M O x y P P 思考：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα1吗？ P O x y M MP＋OMOP=1 正切线 A T 问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？ P O x y M A T 问题2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？ P O x y M 正切线 A T A T P O x y M 思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？ 思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？ P O x y M A T A T 思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？ 过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα. A T O x y P A T O x y P 思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？ O x y P P 当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在. 思考：观察下列不等式： 你有什么一般猜想？ 思考：对于不等式 （其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？ P O x y M A T 例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 例2 在0～ 内，求使 成立的α的取值范围. O x y P M P1 P2 例3 求函数 的定义域. O x y P2 M P1 P 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具. 2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）. 3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想. 课堂小结