1二元运算基本概念和性质(离散数学).ppt

*/55 例 A={1, 2, 3}, B={a, b}, AB={ f | f: A→B} △A : A→A △B: B→B 1→1 a→a 2→2 b→b 3→3 f°△A=f= △B°f */55 例 （AB，°） (1) △A是右幺元吗？ (2) △B是左幺元吗？ 例 （AA，°） △A是幺元 f°△A=f= △B°f */55 定理复习（关于二元关系的性质，见教材第98页） 设 A、B、C、D是四个任意集合，R1、R2、R3分别是从A到B，从B到C，从C到D的二元关系。 则有： ① R1 ?△B = △A ?R1 = R1 ② R1=R1 ③ R1?R2 = R2?R1 ④ (R1 ?R2) ? R3= R1?(R2 ?R3 ) 关系复合记号的 次序 ≠ 函数复合记号的 次序 */55 例 A={a,b,c}, * a b c a a b c b b c a c c a b * a b c a a b b b a b c c a b a ◆ a是左幺元 ◆ a是右幺元 ◆ a是幺元 ■ b是左幺元 ■ 无右幺元 ■ 无幺元 */55 运算表 二元运算满足可交换性的充分必要条件是运算表关于主对角线对称。 二元运算有左幺元的充分必要条件是该元素对应的行与该表表头的行相一致。 二元运算有右幺元的充分必要条件是该元素对应的列与该表表头的列相一致。 二元运算有幺元的充分必要条件是该元素对应的行和列依次与该表表头的行、列相一致。 当A是有穷集合时，其上的二元运算常可用运算表给出，运算的一些性质可直接由运算表看出。 */55 定理2 设（A，*）是一个代数系统，若它既有左幺元，又有右幺元，则左幺元等于右幺元。若有幺元，则幺元唯一。 证明：设e左，e右?A分别是左、右幺元，则有： e左=e左*e右=e右。 若有e1，e2?A ，且均是么元，则也有： e1=e1*e2=e2。 注意： 我们往往用e 表示么元。 */55 含幺半群 定义5 称含有幺元的半群为含幺半群。 例 ■ 0是半群（N，+）的么元， （N，+）是含幺半群。 ■ 1是半群（N，·）的么元，（N，·）是含幺半群。 */55 例 （2A，∪）是一个半群 设A是一个任意的集合，2A是A的幂集合， 集合的并运算∪是2A上的一个二元运算， 由第六章集合运算的性质知，并运算是2A上的闭运算，且满足结合律， 所以（2A，∪）是一个半群。 显然， ??2A是幺元， 即（2A，∪）也是含幺半群。 */55 子半群 定义6：（A，*）是一个半群，?≠B?A， 若（B，*）本身是一个半群， 则称（B，*）是（A，*）的子半群。 */55 11.111.211.611.20 作业22 数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。 大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。 * 代数发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。 * 注意: 对于代数系统(A,*)来说, *是A上的代数运算. 按定义, *是A×A到集合B的函数,那自然会问 B=? 一般地, 我们可把B理解为A或象集*(A×A)。 以上例子说明两个代数系统之间可以建立多个同态映射，而两个代数系统同态，并不表示两个集合之间的任何一个映射都是同态映射。 * 二元运算的性质（续） 定义 设 ° 和 ? 为 S 上两个不同的二元运算, (1) 如果? x, y, z∈S 有 (x ? y) ° z = (x ° z) ? (y ° z) z °(x ? y) = (z ° x) ? (z ° y) 则称 ° 运