2-2向量组线性相关性.ppt

2.2 向量间的线性相关性和秩 * 线性方程组的解集结构归结为解向量之间的关系问题. 1.向量组的线性相关性. 2.向量组的秩和极大无关组. 3.求秩、极大无关组和线性表示式示的一揽子方法 1. 线性表示 线性相关 线性无关 注 注意 例 2 例 3 由线性相关和线性无关的定义导出的8条判别法则 线性相关的本质 · · 定理 2.5 (惟一表示定理) 等价向量组 定义 2 向量组的秩 深化向量组线性相关性的概念, 建立向量组秩的概念 注：等价关系具有反身性、对称性、传递性。 例6 定理 2.7（向量组秩的比较定理） ① 若向量组Ⅰ能由Ⅱ线性表示则秩(Ⅰ)≤秩(Ⅱ). ②若Ⅰ与Ⅱ等价,则秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ). 定理2.7包含了定理2.6及其推论作为其特例.(可以只记定理2.7) 证 ①设Ⅰ0是Ⅰ的一个极大无关组, Ⅱ0是Ⅱ的一个极大无关组. 则Ⅰ0能由Ⅱ0线性表示,根据推论1,秩(Ⅰ)≤秩(Ⅱ). ②由①秩(Ⅰ)≤秩(Ⅱ),秩(Ⅱ)≤ 秩(Ⅰ) ∴秩(Ⅰ) =秩(Ⅱ). 例7 例如 1. 非零行线性无关 ; (是极大无关行) 2. 非零首元所在列线性无关; (是一组极大无关列) 3. 秩等于非零行数.(Th2.1)初等行变换不改变矩阵的秩.(Th2.2) 4. 行秩=列秩=秩 回忆 阶梯阵： 3.用初等行变换求秩、极大无关组和线性表示 一揽子方法 行秩=列秩=秩＝3 对2.1节例1作进一步的思考 行最简形 仿照上述推理，可证明 定理2.8 1. 矩阵的行秩＝列秩＝秩，且在初等行变换下不变； 2. 矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系。 由此得到：求秩、极大无关组、线性表示式的一揽子方法： 返回 思路：将矩阵秩的比较转化成矩阵的行（或列）向量组秩的比较，利用向量组秩的比较定理。 例8