2.4用向量讨论垂直与平行.ppt

归纳小结 1．平面的法向量确定通常有两种方法：(1)利用几何体中已知的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 2．用空间向量处理平行问题的常用方法： (1)线线平行转化为直线的方向向量平行． (2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直． (3)面面平行转化为平面法向量的平行． 垂直问题包括： 直线与直线的垂直，常用两直线的方向向量的数量积为0来判断； 直线与平面的垂直，常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断； 平面与平面垂直，常用法向量垂直来判断．用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为简单． 4.用向量讨论垂直与平行 已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2的法向量分别为n1，n2. 问题1：若直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，则它们的方向向量和法向量有什么关系？ 提示：u1∥u2∥n1. 问题2：若l1⊥l2，l1∥π2呢？ 提示：u1⊥u2，u1⊥n2. 问题3：若π1∥π2，则n1，n2有什么关系？ 提示：n1∥n2. 1．空间中平行、垂直关系的向量表示 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面π1、π2的法向量分别为n1、n2，则 线线平行 l∥m? 线面平行 l∥π1? ? 面面平行 π1∥π2? ? 线线垂直 l⊥m? 线面垂直 l⊥π1? ? 面面垂直 π1⊥π2?n1⊥n2 ? a＝kb，(k∈R) a⊥n1 a·n1＝0 n1∥n2 n1＝kn2(k∈R) a·b＝0 a∥n1 a＝kn1，(k∈R) n1·n2＝0 2．三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的 ，则这两条直线垂直． 3．面面垂直的判定定理 若一个平面经过另一个平面的 ，则这两个平面垂直． 投影 一条垂线 归纳、领悟 一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键． [例1](1)设a，b分别是两条不同直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系： ①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)． (2)设n1，n2分别是两个不同平面π1，π2的法向量，根据下列条件判断π1，π2的位置关系： 考点一 由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置 关系 (3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断π和l的位置关系： ①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)； ③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)． [思路点拨]　本题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系． 总结： 用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换． [例2]如图，在三棱锥P－ABC中， AB⊥BC，AB＝BC，点O、D分别是AC、 PC的中点，且OA＝OP，OP⊥平面ABC. 求证：OD∥平面PAB. 考点二 用空间向量证明线面平行 总结： 用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必须说明直线在平面外． [例3]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD. [思路点拨]　本题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行． 考点三 用空间向量证明面面平行 总结： 用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面