微分方程在数学建模中的应用探究.pdf

2008年第13期 微分方程在数学建模中的应用探究 刘慧宋广华 (河池学院数学系 广西宜州 546300) I摘要】数学建模是数学在实际应用中的具体体现，微分方程是数学联系实际，并应用与实际的重要桥梁，是各个学科进行科学研究的强 有力的工具。本文简要介绍利用微分方=程建立模型来求解实际问题的一般方法和步骤。并给出具体实例和分析。 【关键词】数学建模；微分方程；人口预测 ’ 1．引言 往往略去了一些问题有关的次要因素，因此所得模型是近似的，如不 随着科学技术的迅速发展，数学正越来越多的影响我们的现代生 符应该修改数学模型。 活．“高技术本质上是数学技术”的观点已被越来越多的人所接受。这 3．实例分析 其中，数学模型以及数学建模起到了极其重要的作用。数学模型是一 在科学研究和生产实际中，经常要寻求表示客观事物的变量之间 种抽象的模拟，它用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物 的函数关系。而微分方程模型就是描述客观事物的数量关系的一种重 的本质属性与内在联系，它是对部分现实世界而做的抽象简化的数学 要数学模型。下面结合2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题。 结构。创建一个数学模型的全过程称为数学建模。为了解决一个实际 具体分析微分方程在数学建模中的应用。 问题，建立数学模型是一种十分有效的重要方法。 3．1问题描述和分析 微分方程是一门独虚的数学学科，有完整的数学体系，微分方程 根据相关数据(参见2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 是数学联系实际，并应用与实际的重要桥梁，是各个学科进行科学研 题)，建立中国人口增跃的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期 究的强有力的工具。微分方程在物理学、经济学和管理科学等实际问 和长期趋势做出预测。 题中具有广泛的应用，现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分 模型的建立必须考虑我国近年来人口发展的总趋势。例如，老龄 方程的问题，例如人口的增长、电磁波的传播、人才的分配、价格的调 化进程加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等因素。考虑 整等，都可以归结为微分方程的问题，从中我们可以感受到应用数学 到涉及人r丁的增长和变换，恰好满足利用微分方程的条件，我们可以 建模的理论和方法解决实际问题的魅力m。 利用微分方程来建立模型。 2．微分方程模型 3．2基本假设和分析 2．1微分方程模型概述及常用建模方法 (1)基本假设：从中国人F1增长的特点出发，可以提出如下假设作 微分方程建模是数学建模的重要方法．因为许多实际问题的数学 为建立模型的依据：老龄化进程加速；农村育龄妇女的生育率明显高 描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微 于城镇；出生人口的男女性别比持续升高：农村人口不断城镇化。根据 分方程的定解问题．大体上可以按以下几步： 这些假设，区分模型中的状态变量和参数。 (1)根据实际问题建立相应数学模型——微分方程(组)。 (2)状态变量的设置：根据上述假设和数据分析，可以把城镇人口 (2)求解与分析这一数学模型，其中包括分析解的特征。 与农村人口．及男女性男0区分开来。另一方面，注意到育龄妇女的生育 (3)利用所得结果，解的形式和数值，进行定性分析。解释实际问率是决定人口增长的主要因素。可以对人口的年龄分布按不同年龄段 题，从而预测某些自现象，甚至社会现象中的特定性质。 进行简化．以减少状态变量。 (4)必要时修改模型对问题作进一步探讨。 (3)老龄化的影响：数据分析表明，在每一类人(比如城镇妇女)中， 列方程常见的方法有阁： 老年人IEI在该类总人订中的比例逐年上升。而青壮年和幼年人口比例 (1)按规律直接列方程