ky7§3 非正常积分.pdf

§3 非正常积分 I 基本概念与主要结果 一 无穷积分 1 定义 设函数 在无穷区间 上有定义，且在任何有限区间 上可积，如果存在极 f (x ) [ , )a +∞ [ , a]u 限 u lim f ( x) dx ∫a J ， （1） →+∞ u 则称此极限J 为函数 在 上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作 f (x [) , )a +∞ +∞ J f x dx ∫a ( ) ， +∞ +∞ 并称 收敛。若（1）式极限不存在，则称 发散。 f∫ax (dx) f∫ax (dx) 类似可定义 在 上的无穷积分： f (x () , ]−∞ b b b ( ) lim f( x) dx. f x dx ∫ ∫ −∞ →−∞ u u 对于 在 上的无穷积分，定义为 f ((x ) , )−∞+∞ +∞ a +∞ f ∫x (dx) f ∫x (dx) f ∫x (dx) + a ， （2 ） −∞ −∞ 其中a 为任意实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才收敛。 注 无穷积分（2 ）的收敛性与收敛时的值，都与a 的选取无关。 2 无穷积分收敛的性质 +∞ 性质 1 （柯西收敛准则）无穷积分 收敛的充要条件是：