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数学分析讲义 第10章 广义积分 在讲述定积分时，我们用到了两个定积分中的限制条件，它们是： 1. 积分区间是有界的； 2. 函数是有界的。 这两个条件在定义 Riemann 定积分以及讨论其存在性时都是十分关键的，比如说，函 数有界这一条件是 Riemann 定积分存在的必要条件。这一章里，我们就来讨论将这两个条 件放松，是否存在类似于 Riemann 定积分的量存在，这就是无穷积分和瑕积分。 §1 无穷积分及其判别法 1 无穷积分之定义 1 例 1 ：求函数 在区间 a, A 上与 轴所围部分的面积。 y 2   x x A 1 1 1 解：由面积的定义，我们知：S dx  。 a x 2 a A 1 上述面积公式对于任意的闭区间a, A均成立，并且当A 时，该面积有极限 ， a 因而可以将面积的概念推广至 a, 上的面积。这一想法可以推广到任意函数f x 在     a,上的“积分”的定义： A f x a, A lim f x dx 定义 1 ：若函数  在 上 Riemann 可积，并且极限A a   存在且 等于有限值。则称该极限为函数f x 定义在 a, 上的无穷积分，记作：      A f x dx lim f x dx 。 a   A a     这时也称无穷积分 f x dx 收敛，否则称 f x dx 发散。 a   a   a 同样我们可以定义 f x dx 的收敛性。     a  附注：若 f x dx 与 f x dx 均收敛时，称 f x dx 收敛且 a          a  A f x dx