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北大数分讲义数项级数
第一章 数项级数
§1. 1 数项级数及其与序列极限和无穷积分的关系
设{a }是一个给定的序列, 我们称形式和 a a a L 为序列{a } 的数项级
n k 1 2 n
k 1
数或无穷级数. 我们希望将加法从有限个数的和推广到无穷, 即希望求序列{an } 的和.
n
令s a a a L a , s 称为级数 a 的部分和.
n k 1 2 n n k
k 1 k 1
如果序列{s }是收敛的, 则称 a 收敛, 定义其和为 a lim s ；
n k k n
n
k 1 k 1
如果序列 lim s , 则称 a 发散到 , 记为 a ；
n k k
n
k 1 k 1
如果序列 lim s 不存在, 则称 a 发散, 其和无意义.
n k
n
k 1
k n k 1 qn 1
例 等比级数 cq , 其部分和 sn cq c . 当 q 1 时
k 0 k 0 1 q
c k k c
lim s n , 级数cq 收敛, cq .
n 1 q k 0 k 0 1 q
当 q 1 时, cq k . 当q 1, c 0 时, cq k c c c c L 其发
k 0 k 0
散.
当q 1时, cq k lim sn .
n
k 0
例 通常一个实数r R 可表示为无穷小数r a .a a
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