考研数学 级数理论-函数项级数.pdf

§2 函数项级数 I 基本概念 一 函数列及其一致收敛性 1 定义 { ( )} { ( )} 定义 1 设f x 是一列定义在同一数集E 上的函数，若x E ∈ ，数列f x 收敛， n 0 n 0 { ( )} { ( )} { ( )} f x x x f x 的收敛点，否则称函数列f x 在点x 发 则称函数列 n 在点 0 收敛， 0 称为 n n 0 { ( )} D ⊂E { ( )} D 散．若 在 f x n 上每点都收敛，则称f x n 在 上收敛，全体收敛点所成之集称 { ( )} f x 的一个极限值与之对应，由这个对 为收敛域，此时在收敛域上的每一点，都有数列 n { ( )} 应法则所确定的 D 上的函数，称为f x n 的极限函数．若记之为f ，则有 x，D∈ ． f x limf x n ( ) ( ) n →∞ ε−N x D∈ x ∀D∈ ∀ ε 0 函数列极限的 定义： ( ) ( )， ⇔ ⇔ ， ， f x limf x n n →∞ ( ) ∃ N, x 0ε ∀n N ， ，有 ( ) ( ) f x f−x n ε ． x D∈ N 0 f x ( ) D 若对所有 ，存在公共的 ，则称 在 一致收敛，即 ( )