第2章寻求无条件极值的数值方法.pdf

·98 · 飞机设计参考资料 第 2章 寻求无条件极值的数值方法 下面研究寻求 f(xy函数的无条件最小值问题的数值解决方法。，0)为在整个空间 R 内给定的函数。该课题具有的不仅是独特意义 具有限制条件的问题的许多解法包括 作为某一阶段、过程 的无限制条件的最小化。 通常寻求极值的问题解法分为两种。其中一种我们已在第 1章中了解了。当说到无条 件极值，或者 ： ， ()+ (枷 r())： 0， ∞ aF 一 —百 一^^ ))：00，， 有等式限制条件时，这种方法归结为将极值课题变为了下列形式的超越方程组的求解问 题 。 ， )=0 但是为了寻求极值也可以不使用上述列出的必要条件。实际上，若我们能找到逐步确定点 ，z， “的方法，在这些点上 目的函数值形成递减收敛序列，那么可以指望同样能成 功 地找到函数最小值，而不使用必要条件 这种方法通常被称为解决优化问题的直接方 法 。 注：正如下面我们所见，必要条件的使用将导致某个序列 { )的建立。因而所说两种 方法的差别不是十分重要 。 下面，建立满足下列条件的向量序列 ， ． f(xo) f(xI) … ，(晶)． { }这样的序列称为张弛序列，它们的构建法称为下降法 。 各社下降法相互同的差别是下降方向及沿该方向步长的选择方法不同 所有的方法 中，序列{ )点的计算按公式。 ¨】= ￡·+ ， 其中 ——下降方向}——沿该方向的步长 2001年第 4期 ·99 · 下降法 的最重要 的特性参数是它们的收敛速度，在评估方法质量时要提到线性收敛 速度，(或者以几何级数速度收敛)，若 JJz^+1一 ．1J≤qJJ^一 ．1_， 其中z．——厂()函数的最小点，而 0q 1——某个常量 收敛速度为超线性的，若 JJ ¨1一 z．1J≤ qJJ 一 z．1J， 其中在 k— o。时 一 O。收敛速度为平方速度，若 ll^+i—z．JJ≤cJlz^一 。Jl，c 0 根据要计算的极小化函数导数的最高级，无条件最小化的算法通常分为各级 仅用到 目的函数本身数值的方法属于零阶法(有时它们也叫做检索法)；若除此外，需要计算最小 化函数的一阶导数，则我们使用的是一阶法，等等。 在这些应用最广泛的方法中，二阶法用来取得给定精度的最小步长数结果 (迭代法)。 但这并不是说，它们对任一函数最小化都是最有效的，若效果是指计算机操作的必要品质 的话 (即归根结底必须消耗计算机时间)。从计算机时间消耗观点来讲，相当复杂函数的二 阶导数计算通常是十分庞大和昂贵的过程。因此收敛较慢，但不需大量的中间计算的方法 可能是最好不过的。一切取决于厂0)函数的性质。 预先挑出在任何情况下都适用的下降法是不可能的。为了寻找最能接受的方法 ，通常 要运用研究者的经验和洞察力。 下面研究通常被称为梯度法的一阶法 。 2．1 梯度法 2．1．1 梯度下降一般形式 选择 厂 )函数在点 处的负梯度作为下降方向 得出下列类型的迭代方法； ， 37^+1= z。一 d，(xD， o， k= 1，2．．_· 2．1．1) 在坐标格式中，这种方法写为下列形式 af (