第08讲 多元极值、二重积分.pdf

第 8 讲 多元函数的极值问题, 二重积分 (一) 考纲要求: 考试内容 1. 多元函数的极值和条件极值 多元函数的最大值、最小值及其简单应用 2．二重积分的概念及性质 二重积分的计算和应用 考试要求 1. 理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 数三要求: 了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算。 3． 会用重积分、求一些几何量与物理量 ( 平面图形的面积、体积、 曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)。 (二) 内容提要: 一．多元函数极值部分 1 无条件极值问题： n 极值、极值点: 设函数f : D ⊂R →R , 若存在点x0 ∈D 某个 邻域U , ∀x ∈U 都有f (x ) ≥f (x 0 ) 则称f (x0 ) 是f (x ) 的一个极 小值 (minimum)，并称 f x0 为 的一个极小值点. 类似地： 若 ∀x ∈U 都有f (x ) ≤f (x 0 ) 则称f (x0 ) 是f (x ) 的一个极大值 (maximum)，并 称 x0 为f (x ) 的一个极大值点. 极值点的必要条件：设函数 n f : D ⊂R →R 在点 x0 ∈D 达到极 值 ， 若 f ′( ) 在 该 点 可 微 ， 则 有 , f i x0 0, i 1, , n , 或 者 T ⎛ ( ) ( ) ⎞ f x f x ∂ ∂ ( ) ⎜ 0 0 ⎟ 0 . gradf x 0 ⎜ ⎟ ∂x ∂x ⎝ 1 n ⎠ 极值点的充分条件：设z f (x, y ) 在M 0 点某邻域内二阶偏导数连 续，且M 0 是驻点，即gradf (M 0) 0 ， f (x , y ) 在M 0 处的海森矩阵 ⎛ 2 2 ⎞ ∂ f ∂ f ⎜ 2 ⎟ x x y H f (M 0 ) ⎜ ∂ ∂∂ ⎟ ,则 ⎜ 2 2 ⎟ ∂ f ∂ f ⎜ 2 ⎟ ⎝∂∂x y ∂y ⎠M 0 谭泽光 1 （1）