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3.1--二重积分的概念和性质
第 1 节课 二重积分引入
定积分的定义
设函数 f (x)在有界闭区间 [a,b]上有定义, 且有界，若：
（1 ）任意分割区间[a,b] ：取点列 ：
x ,x ,,x
0 1 n
a x x x b
0 1 n
记 x x x , maxx ；
i i i1 i
i
x ,x
（2 ）任取 i i1 i ；
n
S f ( )x
（3 ）作和式 n i i ；
i 1
n
limS lim f ( )x
（4 ）若极限0 n 0 i i 存在；
i 1
（5 ）极限值与区间[a,b]分割的任意性和 x ,x 取值的任意性无关, 则称函数 f (x)
i i1 i
n
在区间 [a,b]上可积, 该极限值 limS lim f ( )x 称为函数 f (x)在区间 [a,b]上的
0 n 0 i i
i 1
定积分，记作
b n
f (x)dx lim f ( )xi i
a 0
i 1
2 z f (x,y),(x,y)D D
例：设 D 为有界闭集，二元函数 为定义在集合 上的
有界函数（不仿假设 f (x,y)0,(x,y)D ）。求以平面 为底，曲面 z f (x,y)
z 0
为顶的曲顶柱体 (x,y,z)0z f (x,y),(x,y)D的体积（如下图）
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