第二类曲面积分的五种求法.pdf

2009年第33期(上卷)鼍争试周刊 第二类曲面积分的五种求法 吴 燕 (东南大学吴健雄学院，江苏南京210018) 摘要：第二型曲面积分是考研时高等数学的必考内 d】【dy，其中俱连续导数，∑为锥面x：、／；露与两球面x2+y2+：2： 容。本文总结了第二型曲面积分计算的几种方法．并通过实例 加以说明。 l，x2+y2+z2=4所围立体Q的表面取外侧。 关键词：第二型曲面积分 高等数学 求法 解：由高斯公式。 在第二型曲面积分的学习过程中。学生必须在理解概念 n【 、 Z』 Z ’ ＼ Z ／＼z．／ ，az 一=啄【sX2+Lf(、Y一)’上+3y2+!f(上)(了-y1+32]dxdZ Y 的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。由于第二型 曲面积分的概念抽象费解，求法灵活多变，而且它涉及的数学 =3如(x2+y2+z2)dxdydz 知识面较广，因此掌握起来有一定的难度。笔者就第二型曲面 积分的求法进行了一些归纳和总结，对考研时高等数学的复 =3fdOS；d矗p2·p2sinOdp 习有很大的帮助。 1．直接利用投影法进行计算 槲cos啦科=》订扣 定理1：(1)若曲面∑．Z一--Z(X，y) 土舅R(x，Y，z)dxdy2铲[x，y，z(x，y)]dxdy 注意，本题被积函数为抽象函数，用了高斯公式后。将其 化为被积函数较具体的且常见的i重积分计算问题。 上．．R(x，Y，z)dxdy=-j．R[x，Y，z(x，y)]dxdy =下侧 D- 2．2如果区域不是封闭的，可通过添补使其封闭，再用高 (2)若曲面∑：x--x(y，z) 斯公式。 六一P(x，y，zY)dydz=F％P[x(y’z)’y’z]dydz 例3：H-g P[x(y，z)，y，z]dydz J二一P(x，Y，z)dydz=-j 2后一 D_ ∑是旋转抛物面zo+y2介于z=o和z=4两平面间的部分取上侧。 (3)若曲面Y．：yy(x，z) 曼_Q(x，Y，z)dzdx2譬。P[x，y(x，z)，z]dzd】【 解：添补平面∑．：z=4，(x2+y2≤4)，取下侧；则∑+∑。是一个 封闭曲面的内侧，记其所围成的空间区域为Q，P=2(X-x2)， 是舅Q(x肿)dzdx2‘P[xy(x，z)，z]dzd】【 例1：ttgi=@一xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑为曲面zx‘+y‘在 0X 0V OZ 第一象限部分(0≤z≤1)的上侧。 解：设Dvz’D。，D。分别表示∑在yoz平面、zox平面、xoy平面 dV=Zd正础 的投影． dz=一8．n。 相应的∑的方程分别是：x：、／z_y2，y=、／z_x2，z=x2+y2， 阶连续偏导数，通过清除奇点，再用高斯公式。 xdydz+ydzdx+zdxdy 则14 ：吖、／：-y2dydzo、／z—x2d)【dz+F(x2+y2)dxdy uI ％ Dn 是椭球面；+