有界闭区域上的重积分讲义版.pdf

1 求函数u xyz 在附加条件 1/ x +1/ y +1/ z 1/ a (x 0, y 0, z 0, a 0) (1) 下的极值. 解 作拉格朗日函数 L(x , y , z , λ) xyz +λ(1/ x +1/ y +1/ z −1/ a). Lx yz −λ/ x 2 0 3xyz −λ(1/ x +1/ y +1/ z ) 0.  2 由Ly xz −λ/ y 0 xyz λ 3a. Lz xy −λ/ z 2 0 x y z 3a . 故(3a, 3a, 3a) 是函数u xyz 在条件(1)下唯一驻点. 把条件(1)确定的隐函数记作z z(x , y ), 将目标函 数看作 u xy ⋅z(x , y ) F (x , y ), 1 求函数u xyz 在附加条件 1/ x +1/ y +1/ z 1/ a (x 0, y 0, z 0, a 0) (1) 下的极值. 解 故(3a, 3a, 3a) 是函数u xyz 在条件(1)下唯一 驻点. 把条件(1)确定的隐函数记作z z(x , y ), 将目标函 数看作 u xy ⋅z(x , y ) F (x , y ), 再应用二元函数极值的充分条件判断, 知点(3a, 3a, 3a) 是函数u xyz 在条件(1)下的极小值点. 而所求 极值为27a3 . 2 2 求表面积为 而体积为最大的长方体的体积. a 解 设长方体的三棱长为x , y , z , 则问题就是在条件 ϕ(x , y , z ) 2xy +2yz +2xz −a2 0 (1) 下, 求函数V xyz (x 0, y 0, z 0) 的最大值. 作拉格朗日函数 L(x , y , z , λ) 2 xyz +λ(2xy +2yz +2xz −a ), Lx yz +2λ(y +z ) 0 x x +z y x +y  , . 由 2 ( ) 0 y y +z z x +z L xz + x +z  λ Ly xy +2λ(y +x ) 0 x y z . z 代入(1) 式, 得唯一可能的极值点: x y z 6a / 6, 2 2 求表面积为 而体积为最大的长方体的体积. a 解 L(x , y , z , λ)