8-8--多元函数的极值及求法.pdf

第 九 节 多元函数的极值及求法 一、问题的提出 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 x 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70  5x 4y 瓶本 地牌子的果汁，80  6x 7y瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益为 f (x, y) (x  1)(70  5x  4y)  (y  1.2)(80  6x  7y) 求最大收益即为求二元函数的最大值. 二、多元函数的极值和最值 观察二元函数 z  xy 的图形 2 2 x y e 播放 播放 1、二元函数极值的定义 设函数z f (x, y) 在点(x , y ) 的某邻域 0 0 内有定义，对于该邻域内异于 (x , y ) 的点 0 0 (x, y) ：若满足不等式f (x, y)  f (x , y ) ，则 0 0 称函数在(x , y ) 有极大值 ；若满足不等式 0 0 f (x, y)  f (x , y ) ，则称函数在(x , y )有极 0 0 0 0 小值； 极大值、极小值统称为极值.使函数取得极 值的点称为极值点. 例1 2 2 函数 z 3x  4y 在 (0,0) 处有极小值． (1) 2 2 例 ２ 函数 z  x  y (2) 在 (0,0) 处有极大值． 例 ３ 函数 z xy (3) 在 (0,0) 处无极值． 2、多元函数取得极值的条件 定理 1 （必要条件） 设函数z f (x, y) 在点(x , y ) 具有偏导 0 0 数，且在点(x , y )处有极值，则它在该点的偏导 0 0 数必然为零：f (x , y ) 0 ，f (x , y ) 0. x 0 0 y 0 0 证 不妨设z