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2014 考研数学基础班讲义 9 二重积分 二重积分二重积分 二重积分二重积分 （甲）内容要点 一、二重积分的概念与性质 1. 定义 2. 几何意义 2 2 2 【例】根据二重积分 ƒƒ x,ydσσ 的几何意义，求 a − x − y dσσ ，其中 ∫∫ƒƒ ( ) σσ ∫∫ σσ D D 2 2 2 2π a3 D x,y || x ++ y ≤ a ,a 0 .（ ） {( ) || ++ } 3 3. 基本性质 （1） kf x，ydσ = k f x，ydσ k为常数 ； ∫∫ ( ) ∫∫ ( ) ( ) D D （2 ） f x，y ±g x，y dσ = f x，ydσ ± g x，ydσ ； ∫∫ ( ) ( ) ∫∫ ( ) ∫∫ ( ) D D D （3 ） f x，ydσ = f x，ydσ + f x，ydσ ，其中D = D ∪D 。除公共边界外，D 与D 不 ∫∫ ( ) ∫∫ ( ) ∫∫ ( ) 1 2 1 2 D D D 1 2 重叠。（4 ） 1dσ = σ = S ∫∫ D D （5 ）若f x，y ≤g x，y ，，x y ∈D ，则 f x，ydσ ≤ g x，ydσ ； ( ) ( ) ( ) ∫∫ ( ) ∫∫ ( ) D D 推论：① f x，y dσ ≤ f x，y dσ ，②若f x，y ≤ 0，，x y ∈D ，则