在直角坐标系下三重积分计算法的探讨.pdf

维普资讯 第 l9卷第5期 云南师范大学学 V0l_19No．5 7 在直角坐标系下三重积分计算法的探讨 0f7／ 林 谦 (云南师范大学数学系，云南昆明650092) 0172I2 摘 要： }卜算重积分的蓦本方法是将重积分化为累次积分进行计算，而要计算累次积分．其关键是确 定出累敬积分(即单积分)的 F限，也就是如何用 等式组将积分区域表示出来。本文探讨存直角^标 系 F如何将 i重积分化为 三次单积分来进行计算，主要探讨如何结合积分区域的图形将积分区域用 等式组表示出来。 关 键词：星鱼坐量垂； ；是塑! ；墨坌匡些；XY一型区域；Yx一型区域；布等式组；顶 中蓦围分类誉号：面0171．．2文文献献标标识码：A文…章编号号1007--9793(1999)05--OQ67--Q6计I竹算弦I 在教学中，每当讲授到在直角坐标系下计算重积分(特别是三重积分)这一部分内容时，学生常常反 映困难较大。学生反映的困难主要集中在确定单积分的上、下限上，或者说不会用不等式组将积分区域 表示出来 另外，由于在用不等式组将积分区域表示出来时常常需要借助于积分区域的草图．而学生在 正确地作出积分区域的草图这方面也存在一定的困难 下面，本人将就在直角坐标系下如何计算三重积 分进行一些探讨 计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次单积分(郎三次定积分亦即累次积分)来进行计 算，为了能较好地理解三重积分化为三次单积分进行计算的公式，先介绍 “XY一型区域”和 Y“X一型区 域”的概念。 l 由不等式组 ≤ ≤6 Y )≤y≤此 ) I(，)≤2≤z(，) 给出的空间区域力= {(，y，2 ，)≤2≤≈(，)，y )≤y≤y2()，d≤ ≤6)(图l(d)，(6)) 称为 r一型区域，其中空间区域力在xoy面上的投影区域．D为 一型区域，即D= { ，)ly。 )≤ ≤y2(z)，d≤z≤6)，而函数2：1 ，)、≈ ，)是区域．D上的单值连续函数，函数y )、y )是区间 ，6]上的单值连续函数[1] Aq一型区域力的几何图形的特点是 l。区域力在：roy面上的投影区域．D为有界闭区域且．D为 X一型区域；2。区域 力由连续曲面2—2z ，)(简称上顶界面)，2一 (z，)(简称下顶界面)及以D 的边界曲线为准线而母线平行千 轴的柱面为侧面所围成，且穿过力内部而平行干 轴的直线与n的边 界曲面的交点不多于两点(图1()、(6))因此，将积分区域力视为XY一型区域并将其用不等式组表示 * 收稿日期：1998--07 第一作者：林 谦(1956．8--)，男，南省保山 ^，剐教授，从事基础数学研究 维普资讯 ·68· 云南师范大学学报 ( 科 第 19卷 出来时，其关键首先是将积分区域n的草图画出来(如果需要的话)，其次将代表上顶界面和下顶界面的 函数找(或求)出来，最后求出n在 ．r．oy面上的投影区域D并将其用不等式组表示出来(视D为X一型 区域，并找或求出代表上边界线和下边界线的函数)。 ，) 瞄 ) lc) 图1 2 由不等式组