电子科技大学硕士研究生601数学分析考试大纲.pdf

考试科目 601 数学分析 考试形式 笔试（闭卷） 考试时间 180分钟 考试总分 150分 一、总体要求 主要考察学生对 《数学分析》的基本知识、基本理论和基本技能的掌握情况以及用数学 分析的理论与方法分析问题、解决问题的能力. 二、内容 1. 集合与函数 1） 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、单调 R 有界性定理、闭区间套定理、Bolzano-Weierstrass定理、Cauchy收敛原理. 2） 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的2 n R R 闭矩形套定理、Heine-Borel定理(有限覆盖定理)以及上述概念和定理在 上的推n R 广. 3） 函数、映射、变换等概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存 在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 2. 极限与连续 1） 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2）数列收敛的条件 （Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的 1 关系），极限lim(1 ) en 及其应用. n n 3）一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等 式性质、迫敛性），Heine 归结原则和 Cauchy 收敛准则，两个重要极限 sinx 1 x 及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与 lim 1,lim(1 ) ex x x0 x 无穷大量、阶的比较，记号O与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本 性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4） 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质 （局部有界性、保号性），有界 闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 3. 一元函数微分学 1）导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、 可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2）微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor 公式(Peano余项与Lagrange余项). 3）一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（LHospital）法则、近 似计算. 4. 多元函数微分学 1）偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏 导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数 与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式. 2） 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标 变换. 3） 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与 法线）. 4） 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法。 5. 一元函数积分学 1）原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法 （直接积分法、换元法、分部积分法）、 有理 函数积分：R(cosx,sinxdx) 型，Rx( , ax bxc )dx2 型. 2）定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：x i