高等数学(一)复习指导(下).pdf

高等数学（一） 第二学期复习指导 一，多元函数积分学（中心：各类积分算法及其相互 关系） 1，理解重积分的概念及性质。 2，熟练掌握重积分的计算法。（习题7.2, 7.3） •会将二重积分化为累次积分及交换累次积分的次序。 •会将三重积分化为定积分与二重积分（截面方法）。 •会利用直角坐标、平面极坐标，柱坐标、球坐标计 算给定的二重积分和三重积分。 •会求给定几何体的面积，体积。 3，理解两类曲线积分的概念及性质与联系，掌握计算 两类曲线积分的方法。 （习题8.2, 8.3） •能借助曲线的参数方程将它们化为定积分计算。 •会运用平面上曲线积分及路径无关的条件简化第二型 曲线积分的计算（掌握积分与路径无关的判别方法）。 •对于闭曲线积分（非闭曲线亦可增加辅助曲线形成 闭曲线），会应用格林公式简化第二型曲线积分的 计算（化闭曲线积分为二重积分计算）。 4，理解两类曲面积分的概念及性质与联系，掌握计 算两类曲面积分的方法。 •对于非闭曲面可化为二重积分计算（掌握有向投影 方法）。 •对于闭曲面积分（非闭曲面亦可增加辅助曲面形成 闭曲面），必须掌握应用高斯公式简化第二型曲面积 分的计算方法（化闭曲面积分为三重积分计算）。 •了解斯托克斯公式。了解向量场与标量场，梯度， 散度、旋度的概念，会求给定数量场的梯度，给定 向量场的散度和旋度。 •所有积分运算均需注意利用积分区域的对称性及被 积函数的奇偶性简化相关积分的计算。 •重点把握：曲线与曲面的定向。两类曲线积分与两 类曲面积分的概念以及它们的计算方法。掌握格林 公式、高斯公式。掌握曲线积分与路径无关的条件 及其应用。 定理： (格林公式) 设函数P (x y ) 及Q (x y ) 在有界闭区域D 上具有连续的 一阶偏导数D 的边界L 是分段光滑的闭曲线 则有: Q P  Pdx Qdy  dxdy 。    ——格林公式 L D  x y   其中 是D 的取正向的边界曲线。 L 应注意的问题: 对多连通区域 D 格林公式左端应 L 包括沿区域 D 的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域 D 来说都是正向。 格林公式对函数P ,Q 及积分曲线L 都有相关条件。 平面上曲线积分与路径无关的等价条件： 定理: 设D 是单连通域, 函数 在D 内 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线L , 有 L P dx Q d y 0 。 (2) 对D 中任一分段光滑曲线L , 曲线积分 Pdx  Qdy L 与路径无关, 只与曲线起止点有关。 (3) 在D 内是某一函数 的全微分, 即 d u(x , y ) P dx  Q dy (4) 在D 内每一点都有 P Q 。 y x P Q 说明: 根据该定理, 若在某区域内 , 则 y x 1