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2007-2008 高等数学（下）参考答案 一、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分） 1.B 2.A 3. D 4.C 5.D 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分） x y −2 z −4 1 2 1. 2. dz dx =+ dy 3. π −2 3 1 3 3 1 1 ∞ n x −2 n π 4 ∞ cos(2n −1)x 4. ∑(=−1) ( ) x ∈−( 1,5) 5. x =− ∑ 2 1+x 3 n 0 3 2 π n 1 (2n −1) 3 5 2n−1 x x x 三、(9分) 求幂级数x + + ++ +在收敛域上的和函数. 3 5 2n −1 解 幂级数的收敛区间为(−1,1) . 设和函数为s(x ) ，显然 s (0) 0 . ′ 2 4 2n−2 1 =+ + + + + s (x) 1 x x x 2 x ∈(−1,1) 1−x x x dx 两边积分， s′x dx ∫0 ( ) ∫0 1−x 2 1 1+x ( ) − (0) ln x ∈(−1,1) s x s 2 1−x 1 1+x 因此和函数为 ( ) ln x ∈(−1,1) s x 2 1−x 四、(9分) 求函数f (x , y ) xy 在闭区域x 2 +y 2 ≤1上的最大值与最小值. f y 0 ⎧⎪ x 解 ⎨ …………………… f x 0 ⎪⎩ y 函数在区域内有唯一的驻点(0,0) ，且f (0,0) 0. 下面求函数在区域内部的最大最小值. 设F (x, y ) xy =+λ(x 2 +y 2 −1) ⎧ y +2λx 0 ⎪ 解方程组 ⎨x +2λy 0 得可能的驻点 ⎪ 2 2 x +y 1 ⎩ 2 2 2 2 2 2 2 2 P ( , ), P (− , − ), P (− , ), P ( , − ). 1 2