关于积分微元法的三点说明.pdf

2006年11月 南京晓庄学院学报 Nov．．2006 第6期 JOURNAL0FNANJINGXIAOZHUANGUNIVERSⅡ’Y No．6 关于积分微元法的三点说明 吕效国 (南通大学理学院副教授，江苏南通226007) 摘要：本文主要介绍了积分微元法的几点应用：在微元法的基础上，可用二重积分计算曲顶柱 体体积和顶曲面的面积，可用曲线积分来求柱面侧面积，还可以统观二重积分和曲面积分． 关键词：微元法；曲顶柱体；二重积分；曲线积分；曲面积分 中图分类号：0172文献标识码：A 文章编号：1009—7902(2006)06—0005—02 0 引言 微元法是解决积分应用问题的有力工具，是应用科学工作人员和工程技术人员喜欢使用的一种方法．凡 是具有以下两种特征的量都可以使用微元法来解决：特征1，所求的量取决于某些变量在一个区域上的函 数；特征2，所求的量在区域上具有可加性，而且其在区域上的部分量可用变量微分的线性齐次式来近似表 示，只要看出积分微元，所求的量就是该微元所论区域上的积分．微元法在处理各类积分的应用问题中是一 脉相通的，让学生熟练掌握这种方法，对提高其能力是很有益的． 1通过微元法用二重积分计算曲顶柱体体积和顶曲面的面积 若所求体积由区域D上的曲顶函数z=八戈，y)唯一确定，取D的微元d盯，则微元体积可视为d矿为底， 一 一 Ⅳ 书 度来看，如果取微元体积是以以为高，．s(戈)为底的体积，就是dy=|s(戈)以；又由单元定积分的微元法有： ，h(x) ^． r6 ，h(*) s(戈)=J。苁戈，y)妙，从而，y=J敝戈，y)d矿=J如J‘以戈，y)妙就很自然地得到． “ 。yl(“) 甾 。y1(。’ 若求顶曲面面积，可找出相应的曲面面积微元，取底区域D的面积微元d矿，在d盯上的顶曲面的相应面 一考，1}，所以．cos7 2赢’从而，找到瞳面面积微元为：dA 找曲顶面积计算公式很简单明了，学生易于接受． 2通过微元法用曲线积分来求柱面侧面积 设柱面的准线是夥平面上的曲线￡，母线平行于z轴，它被空间曲面z=八石，y)所截的截痕是空间曲线 P．用微元法可以很简捷地找出P与L之间地柱面面积的计算公式．取L的弧微元，则相应的柱面面积微元 以=八石，，，)乩，从而所求柱面面积是：4：上幽=J及菇，y)d厶 收稿日期：2006—06—15 修改日期：2006—10—17 作者简介：吕效国(1963一)男，江苏南通人，南通大学理学院副教授，主要从事数学分析的教学与研究 ——，—— 万方数据 例l：求圆柱面戈2+)，2=o戈被球面戈2+y2+z2=02所截在球内的那部分的面积． 注意：如果用二重积分来计算这个柱面面积是有较大麻烦的． 完全类似地可以把这种思路用以处理第二类曲线积分的应用问题． 这就是第二类曲线积分． 3 通过微元法统观二重积分和曲面积分 总质量就是肘=IIdM=怕(戈，y)如dy； 荀 荀 如果所求平面区域拓广为空间曲面∑，其面密度为J9=p(戈，y，z)∈∑，把平面面积微元换成空间曲 是：M=f7 羔 艺 、 =√，+(轰)2+(翁捌y， 则：M=弘(戈，y，名)dL4=肛№Ⅲ(戈，y)