ch7_4空间曲面方程.pdf

§7 曲面方程与空间曲线方程 §7.1 曲面方程 球面、柱面、锥面、旋转曲面 §7.2 空间曲线方程 §7.1 曲面方程 引例: 求到两定点A (1,2,3) 和B(2, －1,4) 等距离的点的轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M (x ,y , z ) , 则 AM 2 BM 2 , 即 ( 1) x ( 2)y ( 3)z  2 2 2 (x 2)2 (y 1)2 (z 4)2 化简得 2 6 2 7 0x  y  z  说明:动点轨迹为线段AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 曲面及其方程 定义 . 如果曲面 S 与方程F( x, y, z ) = 0 有: (1) 曲面S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 称为曲面S 的方程, 曲面S 称为方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题: F (x ,y ,z ) 0 ①已知一曲面作为点的几何 z 轨迹时, 求曲面方程. S ②已知方程时, 研究它所表示 的几何形状( 必要时需作图 ). x o y 球面方程 球面:动点到定点M 0 (x0 ,y 0 , z0 ) 距离为 R 的轨迹. (x x0 )2 (y y 0 )2 (z z0 )2 R 2 球心:M (x ,y , z )，半径:R 0 0 0 0 设轨迹上动点为M (x ,y , z ), 则 z M M 2 R 2 M 0 0 特别,当M 在原点时,球面方程为 M 0 2 2 2 2 x y z R o y x 2 2 2 z  R x y 表示上(下)半球面 . 2 2 2 x y z x y 2 4 0 例1. 研究方程 表示怎样的曲面.