概率论数学期望.ppt

北邮概率统计课件 概率统计 一.数学期望的定义 二.随机变量的函数的数学期望 三.数学期望的性质 四.常见分布的数学期望 数学期望 设 离散型随机变量X的分布律为: P( X= xk ) = pk , k=1, 2, … 也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个 绝对收敛的级数的和. 若正项级数 收敛， 定义1 1.离散型随机变量的数学期望 的和为随机变量 X 的数学期望，记为： 则称此级数 一.数学期望的定义 注： ▲ 是个(实)数。它形式上是X的可能取值 的加权平均值；本质上体现了X的真正的平 均，故常称 为 X 的均值；物理上表示了一个质点系的重心坐标。 ▲ ▲ 的计算：当 X 的可能取值为有限时， 则计算有穷和；当 X 的可能取值为无限时， 则计算级数的和。 若 不绝对收敛，则称 不存在 例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为：0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的奖金额X的数学期望. 解 每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知它的分布律为 X 10000 1000 100 10 1 pk 0.0001 0.0015 0.0134 0.1 0.885 因此， E（X）=10000×0.0001+1000×0.0015+100×0.0134 +10×0.1+1×0.885 =5.725. 可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元.这个值对商店作计划预算时是很重要的. 例4.4 设随机变量X服从柯西（Cauchy）分布，其概率密度为 试证E（X）不存在. 故E（X）不存在. 证 由于 连续型随机变量的数学期望的引出 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 在数轴上取很密的分点 x0 x1 x2 …，则 X 落在小区间 [ xi , xi+1) 的概率是： 小区间[xi , xi+1 ) 阴影面积近似为 2.连续性随机变量的数学期望 由于 xi 与 xi+1 很接近, 所以区间[ xi , xi+1 )中 的值可以用 xi 来近似代替. 这正是 的渐近和式. 变量近似，该离散型随机变量 因此 X 与以概率 取值 xi 的离散型随机 的数学期望为： 阴影面积近似为 小区间[xi , xi+1 ) 注意到： 由此启发引进如下定义2. 设 连续型随机变量X的概率密度函数 为 f (x)，若积分 为连续型随机变量 X 的数学期望，记为： 也就是说，连续型随机变量的数学期望是一个 绝对收敛的积分. 定义2 收敛，则称此积分的值 二.随机变量的函数的数学期望 定理4.1 设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X),g(x)是连续函数。 推广： 设Z是随机向量（X,Y）的函数，即Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数） 例4.6 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间［a，b］内，求球体积的数学期望. 解 设随机变量X表示球的直径，Y表示球的体积，依题意，X的概率密度为 球体积 ，由（4.6）式得 X,Y是两个随机变量，则： X,Y是两个相互独立的随机变量，则： 设 是常数，则： 设 是常数，X 是随机变量，则： 三. 数学期望的性质 证明： 设随机变量（X,Y）的概率密度是f(x,y)， 其边缘概率密度为 ，则 则性质（3）得证！ ? 若X和Y相互独立，则 故有?： ? 性质（4）得证！ 例4.9 设一电路中电流I（安）与电阻R（欧）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 试求电压V=IR的均值. 解 (1) (0—1)分布 E（X）=0×(1-p)+1×p=p. (2) 二项分布 (3) 泊松分布 (4) 均匀分布 (5) 指数分布 四. 常见分布的数学期望 它的分布律为: 若随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它的分布律为: 则： 设随机变量 X 服从参数为 ( n, p ) 的二项分布， (1) 分布 即 (2) 二项分布 则： 时