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第4章 微分方程建模 基础部 王 静 艾滋病现在无疑是现代历史上最严重的瘟疫．从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命.据统计，2004年有490万人被艾滋病毒感染，同时有300多万艾滋患者死亡.在我国，2005年的疫情评估结果显示：艾滋病毒感染者和艾滋病人约65万，且疫情发展呈上升趋势，并由高危人群向一般人群扩散，存在进一步蔓延的危险. 建立数学模型研究艾滋病的发展趋势，尽量不涉及太多的医学知识. 背景: 人体的免疫系统中起关键作用的就是淋巴细胞，它分为T细胞和B细胞. T细胞由骨髓产生，在胸腺内成熟，能直接攻击入侵者．T细胞又分CD4T和CD8T两种类型. CD4T细胞可以对微生物的入侵立即发出警报，并指挥CD8T细胞等做出反应，投入战斗．B细胞对入侵者产生抗体，抗体与入侵者进行肉搏并将其消灭． 在AIDS感染初期，进入人体的HIV首先侵入CD4T细胞内，或侵入巨噬细胞等其他细胞，将病毒带到局部淋巴结，引起各种急性症状，于是CD8T细胞、抗体等做出反应，从而控制疾病的发展，使血液中的HIV持续在一个较稳定的水平，疾病进入潜伏期．接着HIV对巨噬细胞、CD4T细胞等的感染，免疫系统逐步被破坏，被感染的CD4T细胞由裂解而大量产生HIV．当正常的CD4T细胞急剧减少、HIV迅速增加时，病情发作，随时出现的各种病原都可能引起感染，病人最后因各种机能衰竭而死亡． 微分方程数值解法的基本思想是： 对求解区间进行剖分，把连续问题的求解变为求解在一系列离散网格节点上的值. 将微分方程离散成在节点上的近似公式或近似方程，把求精确解析解的问题化为利用近似公式求近似数值解的问题 结合定解条件求出近似解. 向前欧拉公式、向后欧拉公式、梯形公式、改进的欧拉方法、 龙格—库塔方法 4.5.1 一阶微分方程的平衡点与稳定性 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称平衡点x0是稳定的。 准则： 4.5.2 捕鱼问题 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 背景 * * 4.1 问题驱动：艾滋病的发展 图4 - 1 AIDS进程示意图 4.2 常微分方程基础 4.2.1 基本概念 1 常微分方程 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程，称为微分 方程. 在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数或微分必须出现. 未知函数是一元函数的微分方程，叫做常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程，叫做偏微分方程. 4.2.1 基本概念 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶数. 1 常微分方程 一般的， 阶常微分方程具有形式 这里， 是 的已知函数，而且一定含有 ； 是未知函数， 是自变量. 4.2.1 基本概念 2 线性和非线性微分方程 若微分方程中关于未知变量及其导数都是线性的，那么该微分方程就称为线性微分方程，否则就称为非线性微分方程. 如形式为 的方程就是 阶线性微分方程. 4.2.1 基本概念 3 微分方程的解、通解和特解 如果一个函数代入微分方程后, 方程的两端恒等, 则称此函数为该微分方 程的一个解. 如 和 都是一阶微分方程 的解. 4.2.1 基本概念 3 微分方程的解、通解和特解 如果一个微分方程的解中含有任意常数,并且所含独立任意常数的个数等于 该微分方程的阶数时,则这个解叫做该微分方程的通解.如果从一个微分方程的 通解中根据已知条件将任意常数确定下来得到的解,则这个解叫做微分方程的 特解. 用来确定通解中任意常数而得到特解的已知条件叫做初始条件. 求微分方程的解的过程，叫做解微分方程. 二阶微分方程 的通解为 满足初始条件 的特解为 4.2.2 一阶微分方程的求解方法 1 可分离变量的微分方程 形式： 分离变量法：（1）分离变量 （2）两边积分 （3）求积分