第4章 流体动力学基础.pptVIP

2.拉普拉斯方程 由不可压缩流体的连续性方程 将　　　　　　　　　　　　　　代入得 即　　　　　　　　　　　　　——拉普拉斯方程 　为拉普拉斯算子， φ称为调和函数 ——不可压缩流体无旋流动的连续性方程 注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程 3.极坐标形式（二维） 不可压缩平面流场满足连续性方程： 即： 由全微分理论，此条件是某位置函数ψ（x，y）存在的充要条件 函数ψ称为流函数 有旋、无旋流动都有流函数 流　函　数 由函数ψ的全微分： 　　　　　 得： 流函数的主要性质： （1）流函数的等值线是流线； 证明： ——流线方程 （2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差； 证明： （4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程 证明： 则： 将 代入 也是调和函数 得： 在无旋流动中 例：不可压缩流体，ux=x2－y2，uy= － 2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。 解： （1） 　　 满足连续性方程 （2） 　　 是无旋流 （3）无旋流存在势函数： 取（x0，y0）为（0，0） （4） 　　 满足拉普拉斯方程， 　是调和函数 （5）流函数 取（x0，y0）为（0，0） 1.均匀平行流 　速度场　　　　　　　　　　（a,b为常数） 　速度势函数 　等势线 　流函数 　流线 u x y o φ1 ψ1 φ2 φ3 ψ2 ψ3 几种简单的平面势流 当流动方向平行于x轴 当流动方向平行于y轴 如用极坐标表示： φ1 ψ1 φ2 ψ2 φ1 ψ1 φ2 ψ2 （2）汇流 　　 流量 φ1 ψ1 φ2 ψ2 o ψ3 ψ4 汇点o是奇点r→0 　　　　　 ur→∞ 也满足 同理，对无旋流： ——势流叠加原理 势 流 叠 加 原 理 将驻点坐标代入流函数，得 则通过驻点的流线方程为 给出各θ值，即可由上式画出通过驻点的流线 流线以　　　　　为渐进线 外区——均匀来流区；内区——源的流区（“固化”、半体） 源流和汇流的叠加 动 量 矩 定 理 解决流体旋转与固体壁面的相互作用力 1.动量矩定理 动量定理： 动量矩定理： r v2 2.例：从洒水器的下方注入高压水流，上行至旋转管处分为两股，各旋转臂经喷嘴切向喷出，水流Q=1000mL/s，每个喷嘴出口面积都为A2=30mm2，旋转臂长r2=200mm，要施加多大阻力矩Mz才可保持洒水器不转？ 解：取洒水器转动方向为正（逆时针） 牛顿第三定律，Mz与M大小相等、方向相反 Mz v1 v2τ 讨论： a.如果当洒水器以n=500r/min转动，求Mz Mz v1 v2τ’ ω 牛顿第三定律，Mz与M大小相等、方向相反 b.阻力矩为零时，洒水器的转速n c.注意： （局部） v θ 关于负压： 负压区可能产生汽化，高压区气泡破灭空化，它造成流量减小，甚至机械壁面造成疲劳破坏，这种有害作用称气蚀（空蚀） 关于计算气蚀的例子： 大气压强97.3kPa，粗管径d=150mm，水温40℃，收缩管直径应限制在什么条件下，才能保证不出现空化？（不考虑损失） 10m 解：水温40℃，汽化压强为7.38kPa 大气压强 汽化压强 列1-1、2-2断面的能量方程 列1-1、3-3断面的能量方程 1 1 2 2 3 3 10m 连续性方程 气体的伯努利方程 1.气体的伯努利方程 （1）用绝对压强（m） 常用压强表示（Pa） v1 v2 p1 p2 z1 z2 0 0 ρa ρ 1 1 2 2 （2）用相对压强 ——用相对压强计算的气体伯努利方程 v1 v2 p1 p2 z1 z2 0 0 ρa ρ 1 1 2 2 ——用相对压强计算的气体伯努利方程 p——静压 ρv2/2——动压 (ρa-ρ)g(z2-z1)——位压 注意：z2-z1——下游断面高度减上游断面高度（±）； ρa-ρ——外界大气密度减管内气体密度（±） ； z2=z1或ρa=ρ——位压为零 2.压力线 总压线 势压线 位压线 零压线 动压 静压 位压 静压+动压=全压 静压+动压+位压=总压 3.例：气体由压强为12mmH2O的静压箱A经过直径为10cm、长为100m的管子流出大气中，高差为40m，沿管子均匀作用的压强损失为pw=9ρv2/2，大气密度ρa=1.2kg/m3，（a）当管内气体为与大气温度相同的空气时；（b）当管内为ρ=0.8kg/m3燃气时，分别求管中流量，作出压力线，标出管中点B的压强 A B 100m 40m C 解： （a）管内为空气时，取A、C断面列能量方程 作压力线 117.6 B 总压线 势压线 p A A B 100m 40m C （b）管内为燃气时，取A、C断面列能量方程 即 作压力线 276 B 总压线 势压线 158 位压线 p 例：空气由炉口a流入，通