第一章 函数 第2节 映射与函数.pdf

§2 映射与函数 一 、映射的概念 定义1 设X 和Y 是两个非空集合,若存在一个法则 f ,使得X 中的每个元素 x 按法则 f 在 Y 中有唯一的 元素y 与之对应, 那末称f 为从X 到Y 的映射, 记作: : X f , Y → 元素y 称为元素 x (在映射f 下)的像,并记作f (x), 即 y = f (x) ， 而元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像(或逆像) D X 集合X 称为映射f 的定义域，记作 f . X 中所 有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域， f 的值 域常记作Rf (或 f (X)). 构成一个映射必须具备下列三个基本条件: (1)集合 X ，即定义域 Df X ; (2)集合 Y，即限制值域的范围: Rf ⊂Y ; (3)对应规则f , 使每个x ∈X , 有惟一确定的y = f (x) 与之对应。 需要指出的是： 1. 映射要求元素的像必须是惟一的； 2. 映射并不要求逆像也具有惟一性。 几类重要映射： 1.设f 是从集合X 到集合Y 的映射，若 f (X ) = Y ， 即Y 中任一元素均是X 中某元素的像，则称f 为X 到 Y 的满射； 2.若对任意的 ,必有 , x , x ∈X x ≠x 1 2 1 2 ( ) ( f )x1 ≠f x2 则称 f 为 X 到 Y 的单射； 3.若f 既是满射又是单射，则称f 为X 到 Y 的一一 映射，或称 f 为 X 与 Y 之间的一一对应。 二、逆映射与复合映射 逆映射 设映射f 为X 到 Y 的一一映射,对每个y ∈Y , 有惟一的 适合 f (x ) = y , 于是我们可得到一个 x X ∈ 从Y 到X 的映射, 它将每个 y ∈Y 映为X 中的元素x , 这里的x 满足 f (x ) = y . 我们把这个映射称为f 的逆 f −1 f −1 y ∈Y 映射, 记作 .即 为从Y 到X 的映射, 对每个 , f y( ) x −1 . 如果f (x ) = y , 则 注意，只有一一映射才存在逆映射，因此也把一一 映射称为可逆映射。 复合映射 设有映射 : , : g Y, X →f Y →Z 1 2 Y Y ⊂ 其中 ,由g 和f 可确定出从X 到Z 的一个对应规 1 2 则,它将每个元素 ,映为Z 中的元素 z = f [g (x)], x X ∈ 显然这个对应规则是从X