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第03章集合映射函数
2011GCT 讲义
第三章 集合、映射和函数
本章重点内容
函数的单调性、奇偶性、周期性,函数图像的对称性,常见函数的图象及其性质,反函数,复
合函数
§3.1 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性
一、单调性
若函数 y = f (x) 在其定义域的某个子集 I 上满足:对 ∀x , x ∈I ,当 x x 时都有
1 2 1 2
f (x ) ≤ f (x ) (或f (x ) f (x ) ),则称 f (x)在 I 上是增函数(严格增函数) ;若 f (x)在 I 上满
1 2 1 2
足:对∀x , x ∈I ,当x x 时都有f (x ) ≥ f (x ) (或f (x ) f (x ) ),则称f (x)在 I 上是减
1 2 1 2 1 2 1 2
函数(严格减函数)。增函数和减函数都称为单调函数。
二、奇偶性
若函数y =f (x)对其定义域内任意的 x 都有f (−x) = − f (x) (或f (−x) = f (x) ),则称 f (x)为奇函
数(偶函数)。
注: (1)两个有公共定义域的奇函数的和(差),仍是奇函数;两个有公共定义域的偶函数的和
(差),仍是偶函数;
(2 )两个有公共定义域的奇函数的积是偶函数;两个有公共定义域的偶函数的积是偶函数;
(3 )有公共定义域的一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数;
1
(4 )函数f (x ) 与 具有相同的奇偶性;
f (x )
三、周期性
若存在非零常数 T,使函数y =f (x)在其定义域内对任意的 x 都有f (x+T ) = f (x) ,则称 f (x)为
周期函数,T 称为函数f (x) 的周期。如果f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数,则这个正数称为f
(x) 的最小正周期。
四、函数图像的对称性
(1)函数y =f (x) 的图像关于y 轴对称:f (−x ) f (x ) 。可见偶函数的图像关于y 轴对称。
(2 )函数y =f (x) 的图像关于原点对称:f (−x ) =−f (x ) 。可见奇函数的图像关于原点对称。
(3 )若函数y =f (x) 满足f (a −x) f (a =+x) ,则其图像关于直线x a 对称。
(4 )若函数y =f (x) 满足f (a −x) =−f (a +x) ,则其图像关于点(a,0) 对称。
(5 )对任何函数y =f (x)都有:y f (a =−x ) 的图像和y f (a +x ) 的图像关于y 轴对称(见例
题)。
28 中科院研究生院2011 年 7 月
2011GCT 讲义
典型例题
x −x x
a −a (a +1)x
例 3.1.1 设a 0, a ≠1 ,判断f 1 (x ) 和f 2 (x ) x 的奇偶性。
2 a −1
解:对f 1 (x ) 的定义域(−∞+∞, ) 内任一个x ,有
−x x x −x
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