第三讲 度量空间与连续映射.pdf

§2.1 度量空间与连续映射 首先回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义. 函数 f :R R 称为在点x0 R 处是连续的，如果对于任意实数0 ， 存在实数 0 ，使得对于任何x R ，当 x x0  时，有 f x f x .为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要     0 用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其他性质无关.以下， 我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念. 定义 2.1.1 设 是一个集合， .如果对于任 X :X X R 何 ， ，z X ，有 x y （1）（正定性） x , y 0 ，并且 x , y 0 当且仅当x y ；     （2 ）（对称性）  x, y  y ,x ；     （3 ）（三角不等式） x,z  x, y  y ,z ；        X 则称 是集合 的一个度量. 如果 是集合 的一个度量，则称偶对 X , 是一个度量空  X   间，或称 是一个对于 而言的度量空间.此外，对于任意两点 ， X  x ，实数 x , y 称为从点 到点 的距离. y X   x y 例2.1.1 实数空间 . R 对于实数集合 ，定义 如下：对于任意 ， R :R R R x ，令 x, y x y .容易验证 是 的一个度量，因此偶对 y R    R R, 是一个度量空间.这里定义的度量 称为 的通常度量.    R n 例2.1.2 维欧氏空间 . n R 对于实数集合 的 重笛卡儿积 R n Rn R R  R 定义 :Rn Rn R 如下：对于任意 x x ,x , ,x  ， 1 2 n y y ,y , ,y Rn ，令 1 2 n  2