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第一章_集合
《实变函数》教案
第一章 集合 (总授课时数 8学时)
由德国数学家Cantor 所创立的集合论,是现代数学中一个独立的分支,按其本性
而言,集合论是整个现代数学的逻辑基础;而就其发展历史而言,则与近代分析(包括
实变函数论)的发展密切相关,实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学
课程.因此,在现代数学教育中,对集合论知识的较系统的介绍,通常构成实变函数教
材的第一章.不过,对于实变函数论来说,集合论毕竟只是一个辅助工具,因此,本章
仅介绍那些必不可少的集论知识.
§1、集合及其运算
教学目的 引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的基本运算规律.
本节重点 De Morgan 公式是常用的公式. 证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论
证, 通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算, 学生应理解其概念.
本节难点 对集列极限的理解.
授课时数 2学时
——————————————————————————————
一、集合的概念及其表示
集合也称作集,是数学中所谓原始概念之一,即不能用别的概念加以定义,它像几
何学中的“点”、“直线”那样,只能用一组公理去刻画.就目前来说,我们只要求掌握
以下朴素的说法:
“在一定范围内的个体事物的全体,当将它们看作一个整体时,我们把这个整体称
为一个集合,其中每个个体事物叫做该集合的元素.”
一个集合的元素必须彼此互异,而且哪些事物是给定集合的元素必须明确.以集合
作为元素的集合,也常称为集族或集类.
以后常用大写字母A,B ,C ,D , X ,Y ,Z 表示集合,用小写字母a,b,c, x, y 表示集合中的
元素.
如果a 是集合A 的元素,则说a 属于A ,记作a A ,或说A 含有a .
如果a 不是集A 的元素,则说a 不属于A ,记作a A ,或说A 不含有a .
有些集合可用列举其元素的办法来表示,如:
只含有一个元素a 的集合称为单元素集或独点集,可表示为{a } .
由n 个元素a , a a 所组成的集合,可表示为 {a ,a a }
1 2 n 1 2 n
由全体自然数所组成的集合称为自然数集,可表示为{1,2,,n ,}.
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《实变函数》教案
A A
当集 是具有某性质P 的元素之全体时,我们用下面的形式表示 :
A {x | x 具有性质p }
例如,方程x 2 1 0 的解x 的全体组成的数集是{x | x 2 1 0},
实际上就是{1,1}.
有时我们也把集 {x | x E ,x 具有性质p } 改写成E [x 具有性质p ] .例如,设f (x )
是定义在集合E 上的一实函数,a 是一个实数,我们把集{x | x E , f (x ) a }写成
E [ f (x ) a ]或E [ f a ] .
不含任何元素的集合称为空集,记作.
设A ,B 是两个集,若A 和B 的元素完全相同,就称A 和B 相等,记作A B (或
B A ).
若集合A 的元素都是集合B 的元素,就称为A 是B 的子集,记作A B (或B A ) ,
读作 A 包含于B (或B 包含A) .
若A B 且A B ,就称A 是B 的真子集,规定空集是任何集的子集.
由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理:
定理1 对任何集合 A ,B ,C,均有
(1)A A ;
(2 )若A
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