数学分析中极限的化归转化思想方法.pdf

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数学分析中极限的化归转化思想方法

科技信息 高校理科研究 试i仑数学分析由相限明化归转化思想方法 丽江师范高等专科学校数理系 杨丽星 [摘要]作为数学思想方法的“主粱”之一。化归转化思想已经渗透到教学的各个分支中。我们从数学方法论的角度,通过分析《数 学分析》中的极限部分。对其中所蕴舍的化归转化思想进行了分析和探讨,并挖掘出常用的五种化归转化的思想:一般与特殊、有限 与无限、数与形之间的转化以及映射变换、化正为反的化归转化思想。 [关键词]化归转化思想极限数学分析 当我们面对的数学问题不能用已知模型加以解决时,就会考虑其 的正数N,对一切m.n,都有x。】‘-.∈u‰8),因此lf(x.J--f(x.)le。 它意义上的解题策略,其中首要的一个就是化归转化策略。作为数学思 于是由数列{f(站}的柯西准则知,它的极限存在,记为A,I]Plim脚 想方法的“主梁”之一,化归转化思想已经渗透到数学的各个分支中。 化——就是变化原问题,转化原问题,变换原问题;归一就是变 化.转化,变换原『ⅡJ题是有目的,有方向的,其目的就是变化出一个已知 存在,记为B,现证B=A。 数学模型,就是通过变化使面临的问题转化为自己会解决的问题。化 为此。考察数列矧谨l,y僻b弛…湖∥·。易见㈨cu‰8)目mmz,c--Xoo仍 归——是指把待解决或末解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类 如上所证,f颤曲}也收敛。于是作为ff∞}的两个子列{取胡,㈣}必有相同的 已经解决或比较容易解决的问题中去,最终求碍原fhl题解答的一种手 极限。故由归结原则得:|imf(x)=A。 段和方法。 在解决数学问舾时,若按照思维习惯处理陷入困境时,可以把思维 2、极限与级数之间的转化 转到另外的可逆方向,眼光不能完全落在原问题的结论上,而应该是去寻 (1)证明数列的极限为O,化归为级数收敛的必要条件。 觅。追溯一些熟知的结果,促使要解决的问题转化为某个已终解决了的问 例证明lim三≥=o 题.从而通过化归转化恩想转化并解决原问题,其基本思维过程如下: n~m:r 分析:将本题转化为讨论级数∑票的收敛性,由正项级数的比值 tn:T 判另9法可知,此级数收敛,故由级数收敛的必要条件得证。 (2)求极限转化为级数。 ‘享===oI嘲否I 二蒌 例求极嘞萎雨1 姻为北京大学l螂轫f究生入学考试试 化归基本思维 通过分析《数学分析》中的极限部分,对其中所蕴含的化归转化思 题】 想进行了分析和探讨,并挖掘出常用的五种化归转化的思想:一般与特 解记u舡寺则lu黼l≤若(x∈fo,lD 殊、有限与无限、数与形之间的转化以及映射变换、化正为反的化归转 化思想。 又∑兰收敛放∑-瓣Io,1Lt一致收敛,显然u毒寸在Io,lL七连续, 一、特殊与一般之间的转化 特殊化和一般化以及他们之间的彼此转化和相互作用,是数学分 析中的重要思想和方法。 敲有萋毒在Io,l止连续。所以鲰;斋=,。l—ira寺=萋若=l —般化 匕===≯ 伪求极限j跫【1一丁1+了1一下I+..‘+《-1尸}】n噌 ‘ , ‘. n 分析:此极限为错项级数的前n项和。并且我们知道脚l哪+斓泰

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