2015-2016学年3.1《回归分析》课时1.ppt

* * 回归分析的基本思想 及其初步应用 （第一课时） 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 怎样根据一名女大学生的身高预报她的体重，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重？ 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 根据必修3 2.3变量相关关系解决这个问题的方法： 1.先判断是两个变量是否具有线性相关关系 (1)作散点图，如图所示(见课本P82：图3.1-1) 2.根据线性回归的系数公式，求回归直线方程 ＝ 0.849x - 85.712 3.由线性回归方程可以估计其位置值为 ＝ 60.316 (千克)左右。 具有较好的线性相关关系 性质：回归直线一定过样本中心点 . (2)计算相关系数 这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系，y 的值不能完全由x 确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 因此,在统计学中设它们的线性回归模型为: 其中a, b为模型的未知参数, e为 y与bx + a之间的误差，称它为随机误差，它是随机变量。且 线性回归模型完整表达式为 x 称为 变量, y称为 变量. 解释 预报 线性回归模型中随机误差的主要来源: ①线性回归模型中的预报值 与真实情况y引起的误差； ②观测与计算(用 代替b a)产生的误差； ③省略了一些因素的影响(如生活习惯等）产生的误差. 在线性回归模型中，e为用bx + a预报真实值 y 的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差？ 在实际应用中，我们用 估计bx + a 所以 的估计量为 对于样本点 它们的随机误差为 估计值为 称相应于点 的残差 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。 错误数据 模型问题 身高与体重残差图 异常点 残差的作用 1.通过残差表或残差图发现原始数据中的可疑数据 通过残差 来判断模型拟合的效果这种分析工作称为残差分析. 通过残差表或残差图判断模型拟合的效果是直观判断，如何精确判断模型拟合的效果？ 引入参数R2 来精确该画模型拟合效果 对于己获取的样本数据，在上式子中 是定值， 越小，即残差平方和越小，R2越大，说明模型拟合效果越好。 引入例中参数R2计算得约为0.64说明女大学生体重差异有百分之六十四是由身高引起的. 知识点 线性回归分析 1.对线性回归模型的三点说明 (1)非确定性关系：线性回归模型y=bx+a+e与确定性函数y=bx+a相比，它表示y与x之间是统计相关关系(非确定性关系),其中的随机误差e提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a，b的工具. (2)线性回归方程 中， 的意义是：以 为基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加 个单位. (3)线性回归模型中随机误差的主要来源 ①线性回归模型与真实情况引起的误差； ②观测与计算产生的误差； ③省略了一些因素的影响产生的误差. 2.线性回归模型的模拟效果 (1)残差图法:观察残差图,如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高. (2)残差的平方和法:一般情况下,比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小,而另一些样本点的情况则相反),故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好. (3)R2法:R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合的效果越好. 3.相关系数r与R2 (1)R2的变化范围为[0,1],而相关系数r的变化范围为[-1,1]. (2)相关系数r可较好地反映变量的相关性及正相关或负相关,而R2反映了回归模型拟合数据的效果. (3)当|r|接近于1时说明两变量的相关性较强,当|r|接近于0时说明两变量的相关性较弱,而当R2接近于1时,说明线性回归方程的拟合效果较好. (在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数 r 的平方.) 【微思考】 (1)残差与我们平时说的误差是一回事儿吗? 答:这两个概念在某程度上具有很