一类广义Sierpinski海绵的填充测度.pdf

维普资讯 数 学 年 刊 25A：1(2004)，33—42 木术木术 一 类广义 Sierpinski海绵 的填 充测度 朱 智伟木 周 作领料 罗 俊料木 提 要 对于 m 2的任何整数m，*Z~ITR 中的一类广义 Sierpinski海绵，同时给出了该类海 绵的填充测度的计算公式． 关键词 Sierpinski海绵 Hausdorff测度，填充测度 MR (2000)主题分类 28A78，28A80 中图法分类 0174．12 文献标识码 A 文章编号 1000—8314(2004)01—0033—10 §1． 引 言 确定分形集合的Hausdorff测度与填充测度是一个十分困难的问题．迄今为止，仅对 少数的自相似集能够得到Hausdorff测度的准确值，例如三分 Cantor集 (见 [2])与某些 Sierpinski地毯 (见 [5])．最近， [6]得到了一类广义Sierpinski海绵的Hausdorff测度的准 确值．本文将确定该类海绵的填充测度值． 给定一集合ECR ，集合 E的一个6．填充指的是球心为集合E中的点，并且直径 不超过 的一个互不相交的可数闭球族．对于 s 0，集合E的s-维预填充测度定义为 (E) n~0iP2(E)}， 其中 (E)=sup{∑ll：是E的一个一填充}，lBil表示球Bi的直径．E的s一 维填充测度定义为 o。 o。 ． ， P(E)=inf{∑ E()：ECUEi}． i 1 = 1 利用上述定义的填充测度，E的填充维数dimp(E)可由下列式子确定 dimp(E)=inf{s 0：P (E)=0)=sup{s 0：P (E)=。o)． 本文 2002年 11月 13日收到． }肇庆学院数学系，广东 肇庆 526061．E-mail：zhiweizhu@zqu．edu．cn }}中山大学岭南学院，广州510275．E-mail：lnszzl~zsu．edu．cn 中山大学数学与计算科学学院，广州510275． 国家自然科学基金，教育部博士点基金，广东省 自然科学基金，中山大学高等学术研究中心及肇庆学 院青年基金资助的项 目． 维普资讯 数 学 年 刊 25卷A辑 关于填充测度与填充维数的基本性质可见 [2，4]．下面给出关于Sierpinski海绵的定义． 设整数 m 2，0 2- ．IgCRm为 m一维单位立方体，易见 有 2 个顶 点．在 上挖去除位于其顶点处边长为 的2 个小m一维立方体 (其中位于顶点处的 m个面与 的相应面重合)外的其余部分，得到的集合的闭包记为 ()；对 ()中 的每一个小立方体重复上述过程，得到20 个边长为 的小m一维立方体组成的集合， 将其闭包记为 ()．无限重复上述过程，得到 ／gD ()D ()D… D毋 ()D… ． 非空集合 s ()= n ()，称为广义Sierpinski海绵． n=0 显然