2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)解答要点.pdf

2014 年全国高中数学联合竞赛一试 （A 卷） 参考答案及评分标准 说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9 小题4 分为一个档次，第10、 11 小题5 分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，共64 分． 1 1 1. 若正数a, b 满足 2 log a 3log b log (a b) ，则  的值为 ． 2 3 6 a b 答案： ． 108 解：设2 log a 3 log b log (a b) k ，则a 2k 2 , b 3k 3 , a b 6k ，从而 2 3 6 1 1 a b 6k 2 3    2 3 108 ． a b ab 2k 2 3k 3   3  2. 设集合     中的最大元素与最小元素分别为 ，则M m 的值  b 1 a b 2 M , m   a    为 ． 答案：5 2 3 ． 3 3 解：由1a b 2 知， b  2 5 ，当a 1, b 2 时，得最大元素M 5 ．又 a 1 3 3 3 b  a 2 a 2 3 ，当a b  3 时，得最小元素m 2 3 ． a a a    因此，M m 5 2 3 ． 3. 若函数 2 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ． f (x ) x a x 1 [0, ) a 答案：[2, 0] ． 解：在 上， 2 单调递增，等价于 a ，即a 2 ．在 f x x ax a  1 [1, ) ( ) [0, 1] 2 上，f (x ) x 2 ax a 单调递增，等价于a 0 ，即a 0 ．