2016年广西“创新杯”高一决赛试题答案及评分标准要点.pdf

2016 年广西 “创新杯 ”数学竞赛高一决赛试卷 2016 10 23 ( ) 8:30--11:00 考试时间： 年 月 日 星期日 答案及评分标准 一、选择题 （每小题 6 分，共 36 分, 请将答案的序号填写在第二页答题区选择 题相应题号后面的括号内） 1、设函数f (x ) = x + 3 + x − 2 + x −1 ，则f (x ) 的最小值是（ ）. A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析：选 A. 由绝对值的几何意义知当x = 1时f (x ) 取到最小值. 故选 A （陈敦元老师供题） 2、设方程x 2 − 2x − 2 = 0 的一个较小根为x1 ，下面对x1 的估计正确的是( ). A．− 2 x − 1 B． − 1 x 0 C． 0 x 1 D．1 x 2 1 1 1 1 解析:选B. 提示：直接求根并估计；或者设f (x ) = x 2 − 2x − 2 ，并判断各区间端点的函数值 符号. （命题组供题） (x + b)(x + c) (x + c)(x + a) (x + a)(x + b) 3、化简 + + 得( ) ． (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) A.0 B. 1 C.2 D. 3 解析:选B. 设所给式子为(f )x ，则有f (−a) = f (−b) = f (−c) = 1 ，而a b,c , 互不相等，于 是方程f (x ) −1 = 0 有三个不等根. 但 f (x ) 是关于 x 的二次多项式，所以 f (x ) −1 ≡ 0 ，即f (x ) ≡ 1 ．或常规化简也可得． （唐光明老师供题） 4、如图，AB 为⊙O 的直径，E、F 为 AB 的三等分点，M、N 为AB 上两点，且 ∠MEB = ∠NFB = 60 ,EM + FN = 33 ，则直径 AB 的长为（ ）. A．6 B. 2 11 C. 11 D. 8 解析：选 A. 第 1 页 共 7 页 设⊙O 半径为r . 延长 ME 交⊙O 于点N ′ ，则由圆的对称性， 1 1 MN ′ = 33 . 易知点 O 为 EF 的中点，所以 OE = AB = r . 作 6 3 3 3 33 OH ⊥ ME 于H，则OH = OE ⋅ sin 60 = r ，由 r 2 = ( r )2 + ( )2 ， 6 6 2 解得 r = 3 ，所以 AB=6.