10-310-4可降阶的高阶微分方程高阶线性微分方程及其通解结构.pptVIP

说明: 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: * * 10-3 可降阶的高阶微分方程 复 习 1. 可分离变量方程 分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解. 的微分方程. 2.齐次方程 解法： 作变量代换 3. 一阶线性非齐次微分方程 （1）一般式 （2）通解公式 10-3 可降阶的高阶微分方程 高阶微分方程定义： 二阶及二阶以上的微分方程. 可降阶的高阶微分方程： 可以通过代换将它化为较低 阶的方程来解， 这种类型的方程称为可降阶的方程. 相应的解法称为降阶法. 一般形式： 特点： 解法： 接连积分n次，得通解． 解 所以原方程通解为 特点： 不显含未知函数 y. 解法： 代入原方程,得 这是一阶微分方程. 解 代入原方程,得 积分 两边积分得: 解 代入原方程 分离变量,得 积分得 对它两端积分,得 原方程通解为 特点： 不显含自变量 x. 解法： 代入原方程,得 这是一阶微分方程. 解 解 解 分离变量得 两端积分,得 则得 于是有 由于 所以取正的一支.即 由于 所以取正的一支.即 分离变量并两边积分得 从而所求的特解为 注意： 在求特解的过程中， 出现任意常数后， 马上用初值条件 代入， 可以使运算简化. 数时，可根据已知条件定出其中一支. 当出现几支函 确定任意常数， 高阶线性微分方程及其通解结构 第四节 二、n阶线性微分方程的通解结构 一、二阶线性微分方程的通解结构 第十章 ①式叫二阶线性齐次微分方程 ①式叫二阶线性非齐次微分方程 n 阶线性微分方程的一般形式为 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程. 一、二阶线性微分方程的通解结构 二阶线性微分方程的定义 回顾: 一阶线性方程 齐次通解Y 非齐次特解 y* 二阶线性微分方程 ①式叫二阶线性齐次微分方程 ①式叫二阶线性非齐次微分方程 1.二阶齐次线性微分方程解的结构: 不一定是方程(1)的通解. 就是它的通解. 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 定义: 例如 线性无关. 线性相关. 特别地： 常数 思考: 相关 就是它的通解. 推论: 证明 2.线性非齐次线性微分方程解的结构 推论：