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旋转曲面面积之计算
13-5 旋轉曲面面積之計算
若一平滑平面曲線在平面上繞一軸線旋轉，形成一旋轉體曲面。本節將討論其面
積值。
圓錐體其中一部分平截頭錐體（conical frustum ），
如圖黃色部份，其側面面積為
r r +
1 2
A 2π s =2π (半徑平均)(傾斜邊長) 。
2
y 令f x ( )， ，為在 xy 平面且在 x 軸上的一條平滑曲線，
a x ≤b ≤
a x x x b n
將區間a [b, ]分割成由點 0 1 n 組成的 個小區間，
將此曲線分成 n 小段，
則線段xi xi−1 對 x 軸旋轉型成一個曲面（右上圖灰色部份），
A y Δs ≈2π Δ
其曲面面積近似於圓錐體平截頭錐體之側面面積 i i 。
b b
⇒ ( ) + ′( )2
yds f x A f 2πx dx 1 [ ]
∫ ∫
a a
() ()
若此曲線為參數式形式x f t y ，g t ， ，
a t b ≤ ≤
則曲面面積公式為
b b
′ 2 ′ 2
( ) [ ()] [ ()]
⇒ +
A yds g y f t g t dt 2π
∫ ∫
a a
x
1. 求由曲線 ， 繞 軸旋轉曲面的表面積。
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