理论力学10—普遍定理综合应用(选讲).ppt

10.6 普遍定理综合应用 10.6 普遍定理综合应用 10.6 普遍定理综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理(一起被称为动力学普遍定理)从不同角度研究了质点或质点系的运动量(动量、动量矩、动能)的变化与力的作用量(冲量、力矩、功等)的关系。但每一定理又只反映了这种关系的一个方面, 即每一定理只能求解质点系动力学某一方面的问题。 动量定理和动量矩定理是矢量形式, 因质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩, 应用时只需考虑质点系所受的外力; 动能定理是标量形式, 在很多问题中约束反力不作功, 因而应用它分析系统速度变化是比较方便的。但应注意, 在有些情况下质点系的内力也要作功, 应用时要具体分析。 研究动力学普遍定理综合应用有两方面含义: 其一, 对一个问题可用不同的定理求解; 其二, 对一个问题需用几个定理才能求解。 有时一个问题, 几个定理都可以求解, 此时可选择最合适的定理, 用最简单的方法求解。对于复杂的动力学问题, 不外乎是几种情况的组合, 可以根据各自定理的特点联合应用。下面举例说明。 解：取杆为研究对象 由质心运动定理： 例８ 均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时杆的角加速度及O处反力。 由刚体定轴转动微分方程： a 例9 物体A、B，质量分别为 mA、mB，用弹簧相连，放在光滑水平面上。弹簧原长为 l0 ，刚度系数为k。现将弹簧拉长到 l 后无初速释放，求当弹簧恢复原长时物体 A、B 的速度，弹簧质量不计。 B A A B y x vA vB mAg F mBg 质点系包含两个质点A、B由于质点位移在水平方向，外力不作功；但两质点间的距离是可变的，故内力F、F’所做的功不为零。设当弹簧恢复原长时物体A、B的速度分别为 vA、vB，方向如图示。由动能定理： 解：作受力图。 即 由质点系动量守恒得 联立解之得 B A 例10 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。 解：（1）取圆盘为研究对象 圆盘作平动。 （2）用动能定理求速度 代入数据，得 取整个系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时： （3）用动量矩定理求杆的角加速度a 。 由于 所以 a＝0 。 盘质心加速度： 杆质心C的加速度： （4）由质心运动定理求支座反力。 取整个整个系统 为研究对象 代入数据，得 B A 例11 物块A和B的质量分别为m1、m2, 且 m1＞m2 , 分别系在绳索的两端, 绳跨过一定滑轮, 如图。滑轮的质量为m, 并可看成是半径为r的均质圆盘。假设不计绳的质量和轴承摩擦, 绳与滑轮之间无相对滑动, 试求物块A的加速度和轴承O的约束反力。 解一: 取单个物体为研究对象。 解:分别以物块A、B和滑轮为研究对象, 受力如图。分别由质心运动定理和定轴转动的微分方程, 得 m1g FA a m2g FB a A B O r 由以上方程联立求解得: 注意到 FB FA FOx FOy O mg a 解二: 用动能定理和质心运动定理。 解: 以整个系统为研究对象, 受力和运动分析如图。设 A下降高度h时速度为v ，系统动能为 所有力的功的代数和为 于是可得 B A m1g v m2g v FOx FOy O mg w 将动能定理表达式两边同时对时间求导，得 由质心坐标公式 于是可得 B A m1g v m2g v FOx FOy O mg w 由 得 解三: 用动量矩定理和质心运动定理(或动量定理)。 解: 以整个系统为研究对象, 受力如图, 运动分析如图。系统对定轴的动量矩为 然后按解二的方法即可求得轴承O的约束反力。 B A m1g a m2g a FOx FOy O mg α 由 得 例12 均质细杆长为l, 质量为m, 静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰倒下时, 求杆刚到达地面时的角速度和地面约束力。 解: 由于地面光滑, 直杆沿水平方向不受力, 倒下过程中质心将铅直下落。杆运动到任一位置 (与水平方向夹角为q )时的角速度为 此时杆的动能为 初动能为零, 此过程只有重力作功, 由 P A C q w vC vA 当q＝0°时解出 P A C q w vC vA 杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示, 由刚体平面运动微分方程, 得 杆作平面运动, 以A为基点, 则C点的加速度为 沿铅垂方向投影, 得 联立求解方程(1)~(3), 得 A C a aC mg FA A C aC a w an CA aA at CA 例13 图示三棱柱体ABC的质量为m1, 放在光滑的水平面上, 可以无摩擦地滑动。质量为m2的