“画龙点睛”数学专题讲解(四).pdf

“画龙点睛”数学专题讲解 学霸考研书店 “画龙点睛”数学专题讲解（四）： 反三角函数 此部分内容较为生僻，一般不会作为重难点考察，但是穿插在众 多考研题目当中，函数、积分、无穷级数以及微分方程等的求解或计 算过程中，尤其在遇到反三角函数时，其定义域和值域在来回转化中， 经常容易被考生遗漏或弄错，所以我们用专题讲解的方式进行一下说 明，还请考生注意。 一、反三角函数 在数学中，反三角函数是三角函数的反函数。 下表列出基本的反三角函数： 名称 常用符号 定义 定义域 值域 反正弦 反余弦 反正切 反余切 反正割 反余割 【说明】如果 允许是复数，则 的值域只适用它的实部。 二、反三角函数之间的关系 1. 补角: 1 “画龙点睛”数学专题讲解 学霸考研书店 2. 负数参数: 3. 倒数参数: （ ） （ ） （ ） （ ） 三、反三角函数重要等式 1.arcsin x + arccos x 2 “画龙点睛”数学专题讲解 学霸考研书店 2.arctan x + arccot x 四、反三角函数一般解 每个三角函数都周期于它的参数的实部上，在每个 2π 区间内通过它的所有 值两次。正弦和余割的周期开始于 2πk - π/2 结束于 2πk + π/2(这里的k 是 一个整数)，在 2πk + π/2 到 2πk + 3π/2 上倒过来。余弦和正割的周期开始 于 2πk 结束于 2πk + π ，在 2πk + π 到 2πk + 2π上倒过来。正切的周期开 始于 2πk - π/2 结束于 2πk + π/2 ，接着( 向前)在 2πk + π/2 到 2πk + 3 π/2 上重复。余切的周期开始于 2πk 结束于 2πk + π ，接着( 向前)在 2πk + π 到 2πk + 2π上重复。 这个周期性反应在一般反函数上: 五、反三角函数的导数 对于 的实数值的简单导数如下: 3 “画龙点睛”数学专题讲解 学霸考研书店 【说明】以下内容只需简单看一下即可，因为有些求导是十分基本的，而有些则是仅仅为了 说明上述公式推导的，所以在学习的时候看一遍，自己区分，相信这些如下的求导思路和方 法会让你有所体会。另外，请尤其注意求导后的区间范围选择！ 1. 设 ，得到: 因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上 2. 设 ，得到: 因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上 3. 设 ，得到: 4. 设 ，得到: 5. 设 ，得到: 因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上 ，比较容易被忽略是 产生的绝对 值 的定义域是 ，其所产生的反函数皆为正，所以需要加上绝对值 6. 设 ，得到: 因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上