数列常用方法.doc

数列的通项公式与求和的常用方法 重难点归纳 1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性 2 数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式 an= 3 求通项常用方法 ①作新数列法 作等差数列与等比数列 ②累差叠加法 最基本形式是 an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1 ③归纳、猜想法 4 数列前n项和常用求法 ①重要公式 1+2+…+n=n(n+1) 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1) 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2 ②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn ③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项 ④错项相消法 ⑤并项求和法 数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 典型题例示范讲解 例1已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)， (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有=an+1成立，求 命题意图 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力 知识依托 本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口 错解分析 本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键 技巧与方法 本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}运用和与通项的关系求出dn，丝丝入扣 解 (1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2， ∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d， ∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)； 又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2， ∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2， ∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1 (2)令=dn，则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*), ∴dn=an+1－an=2, ∴=2,即cn=2·bn=8·(－2)n－1；∴Sn=［1－(－2)n］ ∴ 例2设An为数列{an}的前n项和，An= (an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3; (1)求数列{an}的通项公式； (2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明 数列{dn}的通项公式为dn=32n+1; (3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和；Dn为数列{dn}的前n项和，Tn=Br－Dn，求 命题意图 本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力 知识依托 利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点 错解分析 待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使Tn中既含有n，又含有r，会使所求的极限模糊不清 技巧与方法 (1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系，正确表示Br，问题便可迎刃而解 解 (1)由An=(an－1)，可知An+1=(an+1－1)， ∴an+1－an= (an+1－an)，即=3，而a1=A1= (a1－1)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式an=3n (2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n =3·［42n+C·42n－1(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n］=4n+3， ∴32n+1∈{bn} 而数32n=(4－1)2n =42n+C·42n－1·(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n=(4k+1)， ∴32n{bn}，而数列