4-6函数的凸凹性与函数作图.pptVIP

* 4-7 曲线的曲率 * 函数曲线除了有升有降之外, 还有不同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？ 4-6 函数的凸凹性与函数作图 1. 函数的凸凹性 函数的凸(向上凸)凹(向下凸)性定义 设 在 上可导, 若对于每一点 ,都有 则称 在 是凸的; 则称 在 是凹的. (曲线弧总是在它的切线的下方) (曲线弧总是在它的切线的上方) 几何意义： 曲线弧总是在它的切线的下方， 曲线弧总是在它的切线的上方. 定理1 (曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在(a? b)内具有二阶导数, 对于每一点 若在(a? b)内f ??(x)0? 则f(x)在(a? b)上的图形是凸的? 若在(a? b)内f ??(x)0? 则f(x)在(a? b)上的图形是凹的? 证 若在(a? b)内f ??(x)0? 则 若在(a? b)内f ??(x)0? 则 证毕. 例1 研究函数的凹凸区间. 解 于是当 解得 根据定理1， 拐点　连续曲线y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点? 定理２ 是　　　的拐点， 设　　　在　 内有连续的二阶导数, 若点 则 证 用反证法 . 补例 判断曲线 的凹凸性. 解 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 拐点 拐点 在拐点　　　　处 　　　　　不存在. 如果在　的左右两侧 　　异号, 则 是拐点. 补例 求曲线 的拐点. 解 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 补例 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 思考题： 2. 函数作图 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 以及其他变化趋势； 为 0 和不存在 的点 , 并考察其对称性及周 步骤 : 用这些点把函数的定义域化分成几个部分区间; 5. 算出 的零点以及不存在的点所对应的 函数值定出图形上相应的点；确定某些特殊点 , 描绘函 数图形 . 无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线 或为“纵坐标差” 1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 例 求曲线 的渐近线 . 解 为水平渐近线; 为垂直渐近线. 设函数 在 上有定义,则直线 是 当 时之渐近线 定理3 2. 斜渐近线 若当　 或( 或 )时 或 　　　　　，此时　　　为垂直渐近线． 此时　　 为水平渐近线； 若 斜渐近线 若 证 例2 求曲线 的渐近线 . 解 所以有铅直渐近线 及 又因 为曲线的斜渐近线 . 例3 描绘 的图形. 解 1) 定义域为 2) 求关键点 3) 判别曲线形态 (极大) (极小) 无定义 4) 求渐近线 为铅直渐近线 又因 即 为斜渐近线 5) 求特殊点 6）绘图 斜渐近线 铅直渐近线 特殊点 (极大) (极小) 无定义 补例 描绘 的图形. 解 1) 定义域为 无对称性及周期性. 2) 3) (极大) (拐点） (极小) 4) 5）变化趋势 M1 M2 N1 N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系： 一条曲线的弯曲程度可以根据它在单位长度内切线转过的角度的大小来表达. *