意大利数学家求解三、四次方程的思想方法.doc

论文题目：意大利数学家求解三、四次方程的思想方法 论文要求： 教师评语： 教师签字： 年 月 日 意大利数学家求解三、四次方程的思想方法 16世纪以前，数学家们一直未能找到三次方程的一般求根公式，但在这之前人们已经得出了一元一次和二次方程的求根公式。在一部14世纪的意大利数学手稿中，作者类比一元二次方程的求根公式，给出了方程的错误求根公式。15世纪意大利数学家帕西沃里（L.paccioli,1445—1509）在其《算术，几何，比例和比例性概率》中称，求解三，四次方程，和在当时和“画圆为方”问题一样是不可能的。这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角。以此为序曲引出了我们要讲述的关于三次方程求解的故事。这样一类缺项三次方程的求解公式，据说他的工作是以更早的阿拉伯资料为基础的。但他并没有马上发表自己的成果，这在现在我们看来是不太可能的，但在当时社会，一个人要想保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败。因此一个重要的新发现就成了一件在论争中保持不败之地的有力武器。直到费罗去世前才把三次方程的求法传给了他的学生菲奥。 费罗对缺项三次方程的求法并没有公布于世，但后来的数学家们并没有停止对三次方程根的探求。 2.塔塔利亚对三次方程的探求 2.1 塔塔利亚生平 塔塔利亚1499年出生于意大利的布雷西亚城，小时因头部受伤留下口吃的后遗症，14岁因交不起学费而辍学，但他很早就表现出惊人的数学才能。1543年，他去了威尼斯，当上了数学教授。 图1塔塔利亚 2.2 塔塔利亚对三次方程的求解 1530年，科伊（T.da Coi）向塔塔利亚请教了两个问题： (1)一数的平方根加3，乘以该数，积为5，求该数； (2)求三数，其中第二数比第一数大2，第三数又比第二数大2，三数乘积为1000。 塔塔利亚说他知道求解三次方程的一般解法，对第二个问题，他承认不会解，但他认为一定是可解的。 当费奥知道塔塔利亚会解三次方程时，向塔塔利亚提出了挑战。费奥是费罗的学生二十年前费罗成功解决了三次方程，并把解法传授给了费奥。 塔塔利亚全心投入三次方程的研究，终于发现了方程，和的解法。并在威尼斯和费奥进行比赛。费奥给塔塔利亚出的三次方程都是形如的方程，塔塔利亚不到两个小时就劝解出来了，而费奥却一个都没解出塔塔利亚提出的方程。 但塔塔利亚由于种种原因未能把自己关于对三次方程解法的研究发表出来。科伊曾经多次向塔塔利亚请教三次方程的解法，但塔塔利亚都没有告诉他。 下面我们看看塔塔利亚对三次方程的求解：[1] 三次方程的一般形式为：，但对任意一个三次方程可经过减根运算变换成缺项方程：， 在此令，即 ， 于是方程变为 . 当，或时，可满足方程，故有 . 两式相加得 ， 由此得 ， 又因为，从而有，于是 。 但塔塔利亚发现的三次方程后不仅没有告诉别人，也没有马上发表出来。他想把这个方法发表在筹划已久的著作《数量通论》中。最后却被卡当先发表在了《大术》中，而这也成了塔塔利亚一生的遗憾。 后来卡当发现在解方程的过程出现了一个他难以理解的问题即：当时，就会出现负数开平方的问题。例如他在解方程时，得到这使卡当感到不解，形式迫使他不得不正视虚数。 我们就是在解决问题中发现新的问题，然后再去寻找解决新问题的方法。善于观察，善于发现，善于思考，这样才能推动科学的进步，社会的发展。 2.3 卡当的背信弃义 当时研究三次方程求解的数学家还有卡当，卡当1501年出生于帕维亚，并在帕多瓦获得医学博士，但他又精通数学。1534年在米兰当上了数学教师，同时继续行 医，并且是一个颇受欢迎的医生。除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家，同时是一个占星术家。他行为有些怪异，性好赌博，人品看来也不太佳。在他去世后一百年，伟大的莱布尼兹概括了他的一生：“卡当是一个有许多缺点的伟人；没有这些缺点，他将举世无双。”但在我们故事中卡当却是一个将才能与人品不佳的角色。 当卡当听说塔塔利亚研究出了三次方程，就请求他交给自己解三次方程的方法，当遭到塔塔利亚的拒绝，但卡当并没有放弃，他想了各种方法使塔塔利亚说出方程的解法，并发誓不告诉别人也不会发表出去，并立下誓言。最后卡当答应了，把解法编成了诗歌的形式抄录给了卡当：[2] 一、立方共诸物，和为已知数，另寻数一双，差同已知数；二、根据题之需，再定其乘积，物数三之一，立方算仔细；三、差积既了然，双数得不难，复算立方边，相减是答案；四、诸物加定数，立方独一边，君且莫急躁，别有好箴言；五、定数一拆二，物数三之一，两分相乘时，立方是其积；六、既知和与积，两分