2014年高考一轮复习数学教案：3.3 等比数列.doc

3.3 等比数列 ●知识梳理 1.定义 数列{an}从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比. 2.通项公式：an=a1qn－1， 推广形式：an=amqn－m. 变式：q=（n、m∈N*）. 3.前n项和Sn= 注：q≠1时，=. 4.等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=±. 5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为、a、aq，四个数可设为、、aq、aq3为好. 6.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证=常数；（2）用中项性质：只需an+12=an·an+2或=. ●点击双基 1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是 A.arccos B.arcsin C.arccos D.arcsin 解析：设Rt△ABC中，C=，则A与B互余且A为最小内角.又由已知得sin2B=sinA，即cos2A=sinA，1－sin2A=sinA，解之得sinA=或sinA=（舍）. 答案：B 2.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，那么a3·a6·a9·…·a30等于 A.210 B.220 C.216 D.215 解析：由等比数列的定义，a1·a2·a3=（）3，故a1·a2·a3·…·a30=（）3.又q=2，故a3·a6·a9·…·a30=220. 答案：B 3.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为 A.5 B.10 C.14 D.15 解析：由题意列式（1－20%）n＜5%，两边取对数得n＞≈13.4.故n≥14. 答案：C 4.（2004年全国，文14）已知等比数列{an}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项an=___________________. 解析：由已知得q7==128=27，故q=2.∴an=a3·qn－3=3·2n－3. 答案：3·2n－3 5.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n（n∈N*）行，在这些数中非1的数字之和是___________________. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 解析：观察可知，第n（n∈N*）行中有n个数，从左向右依次是二项式系数C，C，C，…，C，故当n≥3时，除了1外，第n行各数的和为an=C+C+…+C=2n－1－2.又前两行全部为数字1，故前n行非1的数字之和为a3+a4+…+an=－2（n－2）=2n－2n. 答案：2n－2n ●典例剖析 【例1】 已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an. 剖析：利用等比数列的基本量a1，q，根据条件求出a1和q. 解：设{an}的公比为q，由题意知 解得或∴an=2n－1或an=23－n. 评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法. 思考讨论 用a2和q来表示其他的量好解吗？该题的{an}若成等差数列呢？ 【例2】 已知数列｛an｝为等差数列，公差d≠0，｛an｝的部分项组成下列数列：a，a，…，a，恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋k3＋…＋kn. 剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a，然后列方程求得kn. 解：设｛an｝的首项为a1，∵a、a、a成等比数列，∴（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d）. 得a1＝2d，q＝＝3. ∵a＝a1＋（kn－1）d，又a＝a1·3n－1， ∴kn＝2·3n－1－1. ∴k1＋k2＋…＋kn＝2（1＋3＋…＋3n－1）－n ＝2×－n＝3n－n－1. 评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意：a是等差数列中的第kn项，而是等比数列中的第n项. 【例3】 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5，5，5成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、bn. 剖析：由等比中项、等差中项的性质得an+1=递推出an=（n≥2）. 解：∵5，5，5成等比数列， ∴（5）2=5·5，即2bn=an+an+1. ① 又∵lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列， ∴2lgan+1=lgbn+lgbn+1，即an+12=bn·bn+1. ② 由②及ai＞0，bj＞0（i、j∈N*）可得 an+1=. ③ ∴an=（n≥2）. ④ 将③④代入①可