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第二章有中点时常用的引辅助线方法 第一节有中线可延长 方法与技巧： 1、有中线可延长中线，构造全等三角形或平行四边形。 （1）延长至等长，构造全等三角形或平行四边形，即为倍长中线法。如图1：AD为⊿ABC的中线，如延长AD至E，使DE=AD，连结BE。则⊿ABC≌⊿EDB，再连结CE，则四边形ABEC是平行四边形，可用平形四边形的有关知识证题。 （2）延长中线的一部分等长。 如图2：E为⊿ABC中线AD上一点，如延长AD至F使DF=DE，连结BF、CF，则四边形BFCE是平行四边形，可用平形四边形的有关知识证题。 （3）可以在中线上截取线段与中线上的某一部分线段相等。此基本图形可表示为： 中线加倍 例1：已知：如图3：AD为⊿ABC的是线，AE=EF，求证：BF=AC。 2、有中点时，可通过连结两中点或过一个中点作第三边的平行线构造中位线。 例2：如图4：在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点。求证：EF与GH互相平分。 例3：如图5：在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC分别取AD、BC的中点M、N，连结MN，则AB与MN的关系是（ ）A、AB=MN B、AB＞MN C、AB＜MN D、以上三种都可能 3、有三角形中线时，可过中线所对边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形。如图6：AN为⊿ABC的中线，若作BD⊥AN的延长线于D，作CE⊥AN于E，则有⊿BDN≌⊿CEN。 例4：已知：如图7：在⊿AB中，∠BAC=90°，AB=AC，AD=CD，AF⊥BD于E交BC于F，求证：BF=2FC 规律总结：有中线时，可过中线所在的边的的两端点向中线作垂线，构造全等三角形。 4、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形。 如图8：O为AB中点，若延长CO至D使OD=CO，则⊿ACO≌⊿BOD（⊿COB≌⊿DOA），四边形ADBC为平行四边形。 例5：已知：如图9：在⊿ABC中，∠=90°，M为AB的中点，P、Q分别在AC、BC上，且PM⊥QM于M。求证：PQ2=AP2＋BQ2 例6：已知：如图10：⊿ABC的边BC的中点为N，过A的任一直线AD⊥BD于D，CE⊥AD于E。求证：NE=ND。 规律总结：有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形，为证题创造条件。 综合演练： 已知：AD为⊿ABC的中线,F为AC上的一点，连结BF交AD于E，求证：= 已知：在⊿ABC中，AD为中线，并且∠BAD=90°，∠DAC=45°，求证：AB=2AD （宜宾中考）如图11，在⊿ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D，若EF=3，BE=4，∠C=45°，求DF：FE的值。 第二节作斜边中线,利用斜边中线性质证题 方法技巧 直角三角形中,有斜边中点时,常作斜边中线,有斜边的倍分关系线段时,也常作斜边中线 如图1：在Rt⊿ABC中，D为斜边AB的中点，连结CD，则得CD=AD=BD，从而构造出等腰三角形 如图2：在Rt⊿ABC中，AB=2BC，作斜边AB的中线CD,则得相等的线段AD=BD=CD=BC,从而得到⊿BCD为等边三角形,为研究等边三角形,求角的大小提供了条件. 例如图3:在Rt⊿ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点. （1）、写出点O到⊿ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系，（不需证明） （2）、如果点M、N分别在线段AB、上移动，在移动中保证AN=BN，判断⊿OMN的形状，并证明你的的结论。 _ ? 3 _ ? 2 _ ? 1 _ O _ N _ C _ B _ M _ A _ C _ D _ B _ A _ D _ B _ C _ A